[TomS]

Nicht im eigentlichen Sinn.

In der Festkörperphysik hast du auch keine Verletzung der Impulserhaltung aufgrund der fehlenden vollständigen Translationsinvarianz. Du hast lediglich eine diskrete Rest-Symmetrie, aber bzgl. dieser gilt „Impulserhaltung modulo Gitter“ in der ersten Brillouinzone.

Man muss die Gittereichtheorie letztlich so konstruieren, dass die Operatoren die Symmetrie des Gitters respektieren. Damit liegt einfach eine andere Symmetrie als im Kontinuum vor, jedoch wird letztere nicht betrachtet und erstere wird nicht gebrochen. Es ist dann sinnlos, von der Verletzung eines Erhaltungssatzes bzgl. letzterer zu sprechen.

Die Frage ist jedoch, ob und wie schnell auf dem Gitter berechnete Erwartungswerte gegen die (natürlich unbekannten) Erwartungswerte für das Kontinuum konvergieren. Soweit ich weiß, gibt es für die QCD damit kein prinzipielles Problem (anders ist dies für die elektro-schwache Theorie aufgrund deren chiraler Struktur).

Ein Beispiel, anhand dessen man sieht, was passieren könnte:

Regularisierung einer Eichtheorie mittels Pauli-Villars, also Masseterm des Eichfeldes; Konsequenz: drei statt zwei Polarisationen sowie explizite Brechung der Eichsymmetrie; Frage ist, was mit dem longitudinalen Photon der QED bzw. Gluon der QCD als Artefakt dieser Regularisierung geschieht.
QED: das longitudinalen Photon entkoppelt von den transversalen, die Eichsymmetrie (Ward–Takahashi identities) gelten nach Renormierung in jeder Ordnung Störungstheorie;
QCD: das longitudinalen Gluon entkoppelt nicht von den transversalen, die Eichsymmetrie (Slavnov–Taylor identities) sind nicht erfüllt, die Theorie ist mittels Pauli-Villars nicht störungstheoretisch renormierbar und damit wertlos.

Die Artefakte des Gitters sind sozusagen gutartig und verschwinden im Grenzübergang. Allerdings ist das bisher nicht mathematisch beweisbar.