Zitat:
# 90°>phi>0° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil und Realteil mit positivem Vorzeichen
# 180°>phi>90° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil mit positivem, Realteil mit negativem Vorzeichen ...
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Genau ! Du hast es doch verstanden. Zuvor war eine Zahl ein Punkt auf der Zahlengeraden. Eine komplexe Zahl ist nun ein Punkt in der Ebene, zweidimensional. Nimm mal die Grafik oben und stelle dich in den Nullpunkt.
Stell dir dabei vor es waere eine Aufnahe aus der Vogelperspektive !
Vor dir liegen die positiven Zahlen. Die Menschen in der Steinzeit kannten keine negativen Zahlen. Es genuegte ihnen nur nach vorne zu schauen. Aber dann kam : Ich habe zwei Steine und gebe dir drei davon. Mir bleibt minus ein Stein. Wenn man immer nur nach vorne schaut gibt es keine -1. Ahhh man muss in die andere Richtung schauen. Dennoch gibt es keinen "minus ein Stein". Es gibt aus materieller Sicht keine Schulden. Aber wenn mein Steinzeitclan wieder an Alle Steine verteilt, dann koennte mein "minus ein Stein" bedeuten, dass ich nun einen weniger bekomme.
Genauso ergibt der Vorgang i*i wieder eine reelle Zahl.
Schauen wir mal zu minus eins und dem Vorgang (-1)*(-1)=1. Sind -1 oder 1 irgendwie unscharf ? Noe. Aber wie drehen wir uns eigentlich um ?
Wenn wir nur "hinten" und "vorne" kennen koennten wir uns sagen, dass der Punkt -1 nach Null hin wandert und von dort zum Punkt, der Zahl eins.
So drehen wir uns aber nicht um Bei dem Vorgang schauen wir auch in ganz andere Richtungen. Nach links oder rechts. Koennten hier nicht auch Zahlen liegen ? Und in der komplexen Ebene in der du gerade stehst ist es so.
-1*-1 entspricht hier einem negativen Stab der Laenge 1, den du um 180 grad drehst.
"Multipliziere mit -1" bedeutet dann : "Drehe dich um". Pi
"Multipliziere mit i" bedeutet dann : "Drehe dich halb um". Pi/2 oder schaue nach links.
Allgemein.
"Multipliziere mit a+i*b" bedeutet dann : "Drehe dich um arctan(b/a).
Und multiplizierde die Stablaenge (Betrag) mit Wurzel(a^2+b^2)