[it77]

Zitat von TomS

Dazu



liefere ich gleich noch eine Berechnung nach ...

... Wir betrachten einen Zustand

|ψ> = ψ₁ |1> + ψ₂ |2>

und untersuchen, ob und mit welcher Wahrscheinlichkeit wir ihn in einem Ensemble finden.

Dazu betrachten wir den Projektor

P = |ψ><ψ| = (ψ₁|1> + ψ₂|2>) (<1|ψ₁ + <2|ψ₂) = ψ₁² P₁ + ψ₂² P₂ + Interferenzterme

A) Zunächst untersuchen wir ein gemischtes Ensemble, bestehend aus Teilchen entweder im Zustand |1> oder |2> mittels des Dichteoperators

ρ = a₁ P₁ + a₂ P₂ = a₁ |1><1| + a₂ |2><2|

P₁ = |1><1|
P₂ = |2><2|

In ρ stehen a₁, a₂ für klassische Wahrscheinlichkeit.

Wegen

tr(ρ) = a₁ + a₂ = 1

folgt unmittelbar

tr(ρ²) = a₁² + a₂² < 1

Die Wahrscheinlichkeit den Zustand |ψ> in diesem gemischten Ensemble ρ zu finden, lautet

p(ψ) = tr(Pρ) = ψ₁²a₁ + ψ₂²a₂


B) Nun untersuchen wir ein reines Ensemble, bestehend ausschließlich aus Teilchen im Superpositionszustand |ψ> = α₁|1> + α₂|2> mit dem Dichteoperator

ρ = (α₁|1> + α₂|2>) (<1|α₁ + <2|α₂) = α₁² P₁ + α₂² P₂ + Interferenzterme

Man erkennt, dass der Unterschied zwischen dem reinen Zustand oben und dem gemischten Zustand hier gerade in den Interferenztermen steckt.

Die Wahrscheinlichkeit den Zustand |ψ> in diesem reinen Ensemble ρ zu finden, lautet

p(ψ) = tr(Pρ) = ψ₁²α₁² + ψ₂²α₂² + 2ψ₁ψ₂α₁²α₂²

(dabei sind sämtliche ψ’s und α’s eigtl. komplex und ich müsste diverse |...| und * sowie c.c. schreiben, aber dann wird das hier ohne LaTeX zu kompliziert; deswegen beschränke ich mich auf reelle Amplituden).

Experimentell: Misst man an diesen beiden Ensembles die Häufigkeit, jeweils den Zustand |ψ> zu finden, so hängt das Ergebnis offenbar von der Superposition von |ψ> bzgl. der Basis |1>, |2> ab, ausgedrückt durch die Amplituden ψ₁, ψ₂. Außerdem hängt das Ergebnis davon ab, ob das Ensemble in einem reinen oder einem gemischten Zustand vorliegt; der Unterschied steckt im wesentlichen im Interferenzterm. Wählt man nun

a₁ = a₂ = α₁² = α₂² = ½

so hat man im Falle von (A) bzw. (B) einen gemischten bzw. einen reinen Zustand, in dem zunächst beide Anteile mit jeweils ½ gleich vertreten sind. Für die Wahrscheinlichkeiten folgt

p(ψ,gemischt) = ψ₁²a₁ + ψ₂²a₂ = ½ (ψ₁² + ψ₂²) = ½

p(ψ,rein) = ψ₁²α₁² + ψ₂²α₂² + 2ψ₁ψ₂α₁²α₂² = ½ (ψ₁² + ψ₂²) + ½ ψ₁ψ₂ = ½ (1 + ψ₁ψ₂)

Wenn also ψ₁ und ψ₂ beide ungleich Null sind, dann folgen im reinen Ensemble explizit andere Häufigkeiten für das Auffinden des Zustandes |ψ> als im gemischten. Anders ausgedrückt, durch Wahl der Basis |ψ> bzgl. der die Teilchen in den Ensembles gemessen werden, kann man unterscheiden, ob das jeweilige Ensemble in einem reinen oder einem gemischten Zustand vorliegt.

Ok, überzeugt. Ich denke, das ist die (lange gesuchte) Antwort.

Allerdings habe ich noch ein paar Verständnisfragen.