[richy]

Hi Hawkwind

Zitat von Hawkwind

Ist auch ohne Polarform easy.

Deine Rechnung moechte ich nochmals durchgehen. Aber es werden sich wohl die beiden moeglichen Loesungen wie bei den Wikis ergeben :

Wiki deutsch

oder Restwiki

où le signe de la partie imaginaire de la racine est
si b <> 0 : le signe de b
si b = 0 et a < 0 : le signe +
si b = 0 et a >= 0 : pas de signe (le nombre est nul).

Beide Angaben implizieren einen speziellen Hautwert ein spezielles arg(z), csgn(z)
Nur eine dieser beiden Loesungen kann richtig sein ! Weil ein eindeutiger Hauptwert festgelegt werden muss. Es steht nicht frei einen solchen offen zu lassen. Er muss festgelegt werden. Das habe ich gerade auch in der Wiki Diskussion angefuehrt :

Zitat von richy bei WIKI

Hi LutzL

Die Gleichung x^2-x0=0 hat genau zwei Loesungen und die Gleichung x=Wurzel(x0) hat genau eine Loesung ! Und wenn ich beide Loesungen betrachten moechte, dann muss ich dies Kennzeichnen: x12=(+ -)Wurzel(x0). In einem Algebraprogramm waere x nun ein Vektor ! Man kann eine Variable, Speicherzelle nicht mehrdeutig mit zwei Werten belegen. Es wurde doch in der Diskussion hier schon dargestellt, dass kein Mathematiker schreiben wuerde Wurzel(1)=-1 sondern Wurzel(1)=1. Weil die Bedeutung des Wurzelsymbols eindeutig (leider nur im Reellen) als (H) Wurzel() festgelegt wurde. Und der Hauptwert als positive Loesung. Darueber gibt es keinerlei Diskussion, denn ansonsten waere der Hauptsatz der Algebra verletzt. Es gab bei dieser Festlegung zwar die Freiheit welchen Hauptwert man fuer das Wurzelzeichen verwendet, aber es gibt wegen dem Hauptsatz der Algebra keinerlei Freiheit darin, dass dies festgelegt werden muss und symbolisch gekennzeichnet werden muss. Aber natuerlich in solch einer Form, dass dies trotz Erweiterund der reellen Zahlen z.B. im Schulunterricht verstaendlich bleibt. Leider hat man hier einen schlechten, zweideutigen Weg bestritten. Man schreibt dem Wurzelsymbol im Reellen und Komplexen zweierlei Bedeutungen zu. Gemaess der Definition steht es hier tastsaechlich fuer alle Loesungen, die man bei einer n-ten Wurzel auch gar nicht speziell am Symbol kennzeichnen kann. Stattdessen kennzeichnet man den Hauptwert zum Beispiel mit dem Zusatz (H)Wurzel() und ohne diesen Zusatz, mit Wurzel(),sollen alle Loesungen gemeint sein. Im krassen Widerspruch zum Reellen. Dort macht es jeder Schueler richtig indem er die mehrdeutige Loesung mit (+-) kennzeichnet. Und man haette dies nur uebernehmen muessen und fuer alle Loesungen einer n-ten Wurzel ein spezielles Zeichen einfuehren muessen. Z.B. (~) oder etwas aehnliches. Nochmal : Es steht frei welches Winkelargument ich fuer die Definition des Hauptwertes verwende. Es steht aber nicht frei, dass ein eindeutiger Hauptwert definiert werden muss ! Es muss ein wohldefinierter Hauptwert existieren, ansonsten ist der Hauptsatz der Algebra hinfaellig. Und wenn Wiki England schreibt = (H) Wurzel(1)=1 und Wiki Deutschland (H) Wurzel(1)=-1 dann ist eine der beiden Aussagen eindeutig falsch. Und unter diesem Aspekt ist der deutsche Wiki Eintrag schlichtweg falsch.

Nochmals zusammengefasst :

Die missglueckte Symbolkonvention :

Wurzel() steht im Reellen fuer den Hauptwert

Wurzel() steht im Komplexen fuer alle Loesungen

+- Wurzel() steht im Reellen fuer beide Loesungen

(H) Wurzel() steht im Komplexen fuer den Hauptwert

Wenn man unter dieser Konvention die Wiki Eintraege zu komplexen Zahlen und Funktionen ueberpruefen wuerde, waere sicherlich jeder fehlerhaft.

@SCR
Die Sachlage ist ganz klar. Es muss ein Hauptwert, ein arg(z), ein csgn(z), fuer eine komplexe Wurzel festgelegt werden. Man kann dies verschieden ausdruecken und es ist eine reine Konvention, die aber zwingend durchgefuehrt werden muss. Neu Gedanken in deiner Form helfen hier wahrscheinlich wenig weiter. Ok man koennte sich danach richten welche Vereinbarung im physikalischen Bereicht oefters sinnvolle Aussagen ergibt. Es bleibt dennoch eine reine Definitionsangelegenheit und die kannst weder du noch ich fuer alle Mathematiker vereinbaren. Wobei die Vereinbarung laengst getroffen ist. Denn MAPLE stellt wie der Bronstein einen Standard dar. WIKI dagegen nicht.

Und damit ist folgendes per Definition falsch :
a) Wurzel(1)=-1
b) (H) Wurzel(-2*i)=-1+1
c) Wurzel(-2+i)=1-i, denn richtig waere [1-i,-1+i]

Und hier zeigt sich das Dilemma, denn a und b widersprechen sich weil das Wurzelsymbol im Komplexen so verwendet wird, dass es schizophren ist

Zu "Per Definition" :
Wenn mit dem Zeichen ">" eine spezielle logische Aussgae definiert ist, dann ist die Aussage 1>3 falsch. Nun kann ich festlegen, dass dieses Symbol bedeutet, 1 kleiner 3. Man koennte ueber jede mathematische Arbeit zunaechst schreiben, dass man das Groesser und Kleinerzeichen vertauscht definiert. Waere das sinnvoll ?

Gruesse