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Alt 08.10.09, 02:56
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richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Folgendes scheint recht einfach zum Erfolg zu fuehren :

Zitat:
Dass die Kehrwertsumme der Primzahlen divergiert, lässt sich folgendermaßen beweisen:
Dazu benutzt man folgendes Lemma (ohne Beweis):

∑ an = ∞ <=>
n

∏ (1-an)^-1 = ∞ ,falls 0 ≤ an < 1
n

Der Beweis, dass ∑ 1/p = ∞ , folgt dann einfach aus:

∏(1-1/p)^-1 =
p prim

∏ ∑ 1/p^n =
p n≥0

∑ 1/n = ∞
n≥1

Verwendet wurde dabei:
die Taylorentwicklung von (1+h)^-1=
die Eindeutigkeit der Primzahldarstellung
die Divergenz der Kehrtsumme der natürlichen Zahlen
http://www.wer-weiss-was.de/theme50/article3337586.html
Anmerkung :
die Taylorreihe von 1/(1-x) lautet 1+x+x^2+x^3+x^4 ...
Zitat:
die Eindeutigkeit der Primzahldarstellung
Damit ist gemeint, das das Produkt ueber die Summe der Primkehrwerte eindeutig die Summe aller moeglichen Kombinationen erzeugt und damit die Summe der Kehrwerte der natuerlichen Zahlen.

Und ich meine jetzt fuehrt das Minorantenkriterium tatsaechlich zum Erfolg.
Betrachten wir nur :

∏(1-1/p)^-1 = ∞
p prim

1/(1-(1/p)) laesst sich auch schreiben als p/(p-1). Dies ist fuer p element N der direkte Nachfolger von
(p-1)/(p-2). Da die Funktion monoton faellt gilt nun wirklich :
p/(p-1)<(p-1)/(p-2) Und da dies fuer alle p gilt, gilt es auch fuer alle Primzahlen.
Da das Produkt ueber p/(p-1) divergiert, divergiert auch das Produkt ueber (p-1)/(p-2).

Jetzetles aber :-)
Traera und A u s m a r s c h

Ge?ndert von richy (08.10.09 um 23:53 Uhr)
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