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Alt 24.11.18, 16:36
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TomS TomS ist offline
Singularität
 
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Standard AW: Quantenfeldtheor

Zitat:
Zitat von Simon_St Beitrag anzeigen
Wenn ich z.B. ein Elektron betrachte, dann kann ich eine Wellengleichung des Elektrons aufstellen, wobei ich wohl die Diraqgleichung hernehme ...
Das ist relativistische Quantenmechanik.

Zitat:
Zitat von Simon_St Beitrag anzeigen
Ich kann auch ein Potential hinzunehmen und z.B. das Wasserstoffatom lösen. Ich kann mir auch die Konstruktion einer Vielteilchen-Wellenfunktion vorstellen, mit den richtigen Vertauschungsregeln, die durch eine Wellengleichung beschrieben ist.
Das ist immer noch relativistische Quantenmechanik.

Zitat:
Zitat von Simon_St Beitrag anzeigen
Mir geht es darum wie ein Fermion mit einem Feldquant aus dem Bosonenfeld wechselwirkt. Wie man dabei die Erzeuger und Vernichter in die Beschreibung einbaut. Bis jetzt verstehe ich nur, dass man mit Erzeuger und Vernichter eine Feldkonfiguration aufbauen kann, die sich dann gemäß einer Wellengleichung zeitlich fortbewegt.
Das ist jetzt Quantenfeldtheorie.

Zunächst mal musst du verstehen, dass das Feld ψ eine völlig andere Rolle spielt. In der relativistischen Quantenmechanik ist das Diracfeld soetwas wie eine verallgemeinerte Wellenfunktionen, in der Quantenfeldtheorie wird es zu einem Operator. Im ersten Fall trägt ψ die Information über des Zustand des quantenmechanischen Systems, in der Quantenfeldtheorie nicht! Hier ist es ein Feldoperatorer, der Zustand wird im Fockraum beschrieben.

Die Quantisierung funktioniert wie folgt: du löst die Diracgleichung

(iDγ - m)ψ = 0

mit der kovarianten Ableitung D und den Eichfeld A.

D = ∂ - ieA

Im Falle A = 0 resultieren daraus verallgemeinerte ebene Wellen U(k,x) V(k,x), im Falle des Wasserstoffatoms mit A₀ ~ 1/r verallgemeinerte Kugelwellen; erstere sind von der Form

U(k,x) = u(k) exp[ikx]

Nun führst du eine verallgemeinerte Fourierzerlegung des Feldes bzgl. dieser Lösungen u,v durch, d.h.

ψ(x) = ∫ dk b(k) U(k,x) + ...

Die b(k) ... sind verallgemeinerte Fourierkomponenten bzgl. der Basis (k,x).

Diese Fourierkomponenten werden nun als Operatoren interpretiert.

Nun betrachtet man die Lagrangedichte ℒ bzw. die daraus abgeleitete Hamilton- bzw. Energiedichte ℋ und den Hamiltonoperator

H = ∫ dx ℋ

Darin existiert u.a. ein Wechselwirkungsterm jA, analog zur klassischen Elektrodynamik. Der fermionische Strom j ist bilinear in den Diracfeldern ψ. Aus diesem Term stammt auch das Eichfeld A in der Diracgleichung.

Für das Eichfeld verwendet man eine analoge Vorgehensweise.

Führt man nun die Integration ∫ dx ℋ durch, so folgt

H = ∫ dk dk‘ dl ℋ

Diagonale Terme in k, k‘ mit δ(k-k‘) sind bilinear in den Erzeugern und Vernichtern beschreiben freie Teilchen; nicht-diagonale Terme in k, k’, l sind (mindestens) trilinear in Erzeugern und Vernichtern; in der QED vor der Eichfixierung wird der Fermion-Boson-Vertex durch Terme beschrieben, die zwei fermionische und einen bosonischen Operator enthalten.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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