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hab das Programm bei 33409, der Primzahl 394129 abgebrochen.
a=17.38318378
So kommt man ja nicht viel weiter, sondern man benoetigt
1) eine Abschaetzung des Wachstums der Primzahlen
2) Eine Angabe ob die von dir genannte Haeufigkeit H damit konvergiert oder divergiert
2a) Indem man das Produkt direkt auswertet
2b) Indem man ein Konvergenzkriterium fuer Produkte anwendet
zu1)
http://www.math.uni-bielefeld.de/bir...r/leit01-2.pdf
Zitat:
Wir bezeichnen mit pk die k-te Primzahl, also p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, usw.
Satz.
Es gibt positive reelle Zahlen A < 1 < B, mit
A · n · ln n < pn < B · n · ln n,
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So etwas habe ich mir fast gedacht. Das Wachstum liegt irgendwo zwischen linear und quadratisch.
Hier habe ich die Funktion fuer 2 Schranken bis 10 000 dargestellt :
Den Faktor 1.18 koennte man ueber die Methode der kleinsten Quadrate natuerlich noch genauer bestimmen.
Hier nochmals fuer die ersten 15 Primzahlen
Die Approximation ist hier noch sehr ungenau
Jetzt mal sehen was Maple zu dem Grenzwert meint :
s:=evalf(product((p*ln(p)-1)/(p*ln(p)-2),p=3..10000));
Error, (in product) object too large for the Student Edition
Tja, diese ewigen Studenten :-)
Fuer das Produkt
s:=evalf(product((1.18*p*ln(p)-1)/(1.18*p*ln(p)-2),p=3..1000));
spuckt Maple noch den Wert s := 7.180852157 aus
NUMERISCHES
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Ich will jetzt erstmal untersuchen wie gut 1.18*x*ln(x)
EDIT 1.15*x*ln(x)
das Haufigkeitsprodukt approximiert. Fuer kleine Primzahlen ist die Uebereinstimmung sehr schlecht. Also starte ich den Vergleich bei der tausendsten Primzahl :
Das kleine Programm :
Zitat:
N1:=1000;N2:=5000;aa:=1;bb:=1;c:=1.15;
> for i from N1 to N2 do
> aa:=aa*evalf((ithprime(i)-1)/(ithprime(i)-2)):
> bb:=bb*evalf((c*i*ln(i)-1)/(c*i*ln(i)-2)):
> a[i]:=aa;
> b[i]:=bb;
> od:
> druck1:=seq([k,a[k]],k=N1..N2):
> druck2:=seq([k,b[k]],k=N1..N2):
> plot([[druck1],[druck2]]);
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Den Faktor C habe ich jetzt zu 1.15 statt 1.18 gewaehlt das passt besser und wie man sieht recht gut :
NUMERISCHE IDEE
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Sachgemaess waere es natuerlich ein Konvergenzktiterium auf das Produkt anzuwenden. Mein hohler Bauch sagt mir aber jetzt schon, dass dies eventuell nicht so einfach sein koennte.
Dieses Produkt liegt wahrscheinlich irgendwo an der Grenze zwischen Konvergenz und Divergenz.
Und falls es konvergiert wuerde mich ein Naeherungswert interessieren. Kann aber durchaus auch sein, dass es divergiert.
Im Moment habe ich folgenden numerischen Plan :
Wir koennen das Produkt relativ einfach numerisch simulieren.
Allerdings ergibt sich das Problem, dass unser Rechengeraet sehr viel Zeit benoetigt um grosse Primzahlen zu berechnen.
Dafuer scheint fuer grosse Primzahlen die Funktion c*x*ln(x) wenigstens qualitativ eine gute Naeherung zu sein.
Daher zerlege ich das Produkt, nennen wir es H, an der Stelle m in zwei Faktoren.
H=product(f(i),i=3..infinity)
H=product(f(i),i=3..m)*prod(f(i),i=m+1..infinity)= H1*H2
H1 haben wir fuer m=10000 bereits exakt numerisch simuliert.
Der Wert fuer H1 war :
H1(m=10000)=15.597311318
Meine Idee waere es H2 nun durch c*x*ln(x) x=m+1..grosse Zahl
versuchen numerisch zu ermitten. Damit erspart man sich grosse
Primzahlen und kann daher eine sehr gross obere Schranke verwenden.
OK lets go
