[EMI]

Zitat von Timm

Müßte dann eine aus dem Unendlichen einfallende Testmasse nicht eine bestimmte nur von g abhängige Maximalgeschwindigkeit erreichen.

Zitat von JoAx

Es ist schwierig mit Unendlichkeiten umzugehen. So bald diese (oder die NULL) in mathematischen Formeln auftauchen, spielen andere Grössen eigentlich keine Rolle mehr. Sie "überstimmen" alles.
Die Testmasse würde eine Geschwindigkeit erreichen, die gegen c geht, und zwar unabhängig von g.

Für den freien Fall im homogenen grav.Feld (Erdbeschleunigung G=konstant) gilt in der klassischen Mechanik:

[1] v = √2Gh , mit Fallhöhe h

Geht in [1] h→∞ , geht vmax→∞, was nicht richtig sein kann.

wie sich mit Hilfe der SRT leicht zeigen lässt folgt für den freien Fall in relativistischer Form im homogenen grav.Feld (G=konstant):

[2] v = c √(1 - e^-(2Gh/c²))

Geht in [2] h→∞ geht vmax→c

In einem inhomogenen grav.Feld ist G nicht mehr konstant, sondern von der Höhe h abhängig.
Mit Gh=G(r/(r+h))² , mit Erdradius r folgt für ein inhomogenes grav.Feld:

[3] v = c √(1 - e^-(2Ghr / c²(r+h)))

Geht in [3] h→∞ folgt:

[4] vmax = c √(1 - e^-(2Gr/c²)), nur abhängig von der Erdbeschleunigung G und den Erdradius r, also unabhängig von der Fallhöhe.

Mit 2Gr << c² ergibt die Reihenentwicklung:

e^-(2Gr/c²) = 1 - 2Gr/c² + 4G²r²/2!c²c² - + ...

nach Abbruch der Reihe nach dem 2.Glied (bei 2Gr << c²):

v ≈ √2Gr , mit dem Erdradius r≈6370000 m und der Erdbeschleunigung G=9,81 m/s² folgt hier:

vmax ≈ 11180 m/s , die Fluchtgeschwindigkeit der Erde.

Die maximale Fallgeschwindigkeit einer aus dem Unendlichen fallenden Masse ist immer genau so groß wie die Fluchtgeschindigkeit die diese Masse benötigt um den Himmelskörper wieder zu verlassen auf den sie aus dem Unendlichen gefallen ist.

Gruß EMI