Zitat:
Zitat von SCR
Das hier z.B. ist doch richtig, oder?: i * (-i) = 1
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Das ist korrekt.
Zitat:
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Kannst Du mir etwas zu (i)^0,5 erzählen?
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Eine gute Erklärung ohne Polarform fällt mir hierzu spontan nicht ein.
i ist definiert als i*i=-1. Es erweitert den "Raum" der reellen Zahlen. Du kannst dir das wie ein Koordinatenkreuz vorstellen, wo auf der x-Achse die reellen Zahlen aufgetragen sind, und auf der y-Achse die imaginären Zahlen.
Die Zahl i hat in diesem Koordinatenkreuz den Punkt bei x=0 und y=1. Die (komplexe) Zahl 1 + i entspricht in dem Koordinatenkreuz dem Punkt x=1 und y=1, die Zahl 3 + 2i dem Punkt x=3 und y=2, usw.
Du kannst jede komplexe Zahl aus einem reellen Anteil und einen imaginären Anteil zusammensetzen. Der x-Wert im Koordinatenkreuz steht für den reellen der y-Wert für den imaginären Anteil. Man spricht hier übrigens auch von der sogenannten komplexen Zahlenebene.
Anstatt den x- und y-Wert in Zahlen auszudrücken, kannst du das auch mit einem Winkel - sagen wir "phi" - und einem Radius r tun. Anschaulich wird das erst, wenn du dir das aufzeichnest. Du nimmst eine beliebige komplexe Zahl, z.B. 2 + 2i, und zeichnest sie in der komplexen Zahlenebene als Punkt bei x=2 und y=2. Nun ziehe eine Linie zwischen dem Koordinatenursprung (x=0,y=0) und diesem Punkt (x=2,y=2). phi ist nun definiert als der Winkel zwischen der x-Achse und dieser Linie, gemessen gegen den Uhrzeigersinn. In unserem Fall also 45° oder Pi/4 in Radiant. Mit Hilfe der Winkelfunktionen sin und cos kannst dies nun wie folgt ausdrücken:
x + y*i = r*cos(phi) + r*sin(phi)*i
wobei r = -/(x² + y²) (das soll ne Worzel sein vor der Klammer
)
r ist somit der Abstand vom Koordinatenursprung bis zu deinem Punkt (2,2).
Für die Winkelfunktionen gilt ja sin(phi)=y/r und cos(phi)=x/r. Das umgeformt ergibt x=r*cos(phi) bzw. y=r*sin(phi).
Wenn du cos(x) + i*sin(x) in einer Taylorreihe entwickelst, siehst du, dass die entstehende Reihe dieselbe Reihe ist die man erhält, wenn man die Exponentialfunktion e^(i*x) entwickelt. Das heißt es gilt allgemein:
cos(x) + i*sin(x) = e^(i*x)
Daraus folgt: r*cos(phi) + r*sin(phi)*i = r*e^(i*phi)
Womit die sogenannte Polarform einer komplexen Zahl entwickelt ist.
Für unser Bespiel gilt: 2 + 2i = -/(8)e^(i*Pi/4)
Damit kann man leicht i^0,5 berechnen. In Polarform schreibt sich i als
i = 1*e^(i*Pi/2) weil der Winkel zwischen der x-Achse und i (x=0,y=1) 90°, sprich Pi/2 entspricht.
Dann gilt weiters:
i^0,5 = [e^(i*Pi/2)]^0,5 = e^(i*Pi/2*0,5) = e^(i*Pi/4) = cos(Pi/4) + i*sin(Pi/4) = 0,707... + i*0,707...
und das wars.