Ich kann Benjamins Ausfuehrung wenig hinzufuegen. Eine Herleitung der Wurzel(i) ohne Polarform faellt mir ebenfalls nicht ein. Zunaecht solltest du dir Konventionen in der Gausschen Ebene merken :
Die komplexe Zahl z wird somit durch ihren Radius=Betrag und Winkel=Argument in der Gausschen Ebene dargestellt. Der Winkel wird bezueglich der Realteil-Achse gemessen und mathematisch wie immer gegen den Uhrzeigersinn. Am besten merkt man sich auswendig :
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phi=arg(z)=arctan(Imaginaerteil/Realteil) (Auf Quadranten achten !)
|z|=Wurzel(Realteil^2 + Imaginaerteil^2)
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Vorsicht ! Beim arctan(Imaginaerteil/Realteil) ist die Bedeutung der Vorzeichen nicht mehr eindeutig. (Daher arg(Im,Re)) Den Quadranten von Phi muss man somit extra bestimmen.
Jetzt merkt man sich noch die erste schwarze Taste eines Klaviers CiS und kann damit eine komplexe Zahl nach Benjamins CiS Gleichung wieder als Relateil und Imaginaerteil darstellen :
Zitat:
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Zitat von Benjamin
Daraus folgt: r*cos(phi) + r*sin(phi)*i = r*e^(i*phi)
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Fuer i geht dies alles noch sehr einfach. Der Betrag ist eins und phi gleich 90 Grad also Pi/2. Benjamin hat das alles schon angegeben. i=exp(i*Pi/2)
Wie zieht man nun aber die Wurzel aus i ? Ueber (exp(a))^b=exp(a*b)
i^(1/2)=exp(i*Pi/2)^(1/2)=exp(i*Pi/4) Genau, das wars schon.
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ZUSATZ :
Allgemeiner : Wie loest man die Gleichung z^2=i. Die Gleichung hat zwei Loesungen, Wurzeln. Folgendes soll die Mehrdeutigkeit im Komplexen zeigen. Man wendet den selben Trick an wie bei da^x/dx. ebbes=exp(ln(ebbes))
Damit kann man ueber den ln() die Potenz beseitigen. Somit :
i^(1/2)=exp(ln(i^1/2))=exp(1/2*ln(i))=exp(0.5*ln(i))
Naja, jetzt haben wir das Probem darauf abgewaelzt den ln() aus einer komplexwertigen Zahl zu ziehen. Aber fuer w=ln(z) gibt es eine "Loesungsformel" :
i^(1/2)=exp(0.5*(ln|i|+i*(arg(i) + 2*k*Pi) ) k=0,1
ln|i|=ln(1)=0
arg(i)=Pi/2
i^(1/2)=exp(0.5*(i*(Pi/2 + 2*k*Pi) ) k=0,1
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Auch damit sieht man sehr schoen, wie denn die Teilung des Winkels von Pi/2 nach Pi/4 zustande kommt.
k=0
(Hauptwert)
i^(1/2)=exp(0.5*(i*Pi/2))=exp(i*Pi/4) ... mit CiS = Wurzel(2)/2*(1+i)
k=1
i^(1/2)=... exp(i*Pi/4+i*Pi) ... CiS = -Wurzel(2)/2*(1+i)
Aha. Bei der zweiten Losung wird der Zeiger um Pi weitergedreht. Waere die erste Losung nicht komplex, dann entspraeche dies einem negativen Vorzeichen. Negative Zahlen sind somit ein Spezialfall imaginaerer Zahlen.
Im Thread Phas-O-Mat hatte ich z^16=1 schon mal graphisch dargestellt :
Schwarz=Wurzel(i). Man sieht wie der Winkel phi=Pi/2 zu Pi/4 halbiert wird :
http://home.arcor.de/richardon/richy...omat/phaso.htm
Gruesse