Vielleicht sollte man hier nochmals erwaehnen :
Emi hat die 4 Losungen von z^4=-1 angegeben. Haupwert=Wurzel(i)
Ich hatte die 2 Loesungen von z^2=i angegeben. Haupwert=Wurzel(i)
Mit Wurzel(i) ist im Grunde der Hauptwert gemeint. Benjamins Loesung reicht hier somit aus :
Wurzel(i)=exp(i*Pi/4)=Wurzel(2)/2*(1+i)=cos 45° + i sin 45°=0,707... + i*0,707...
Das ist wie im Reellen :
Wurzel(4)=2
Aber die Gleichung x^2=4 hat zwei Losungen x1=2, x2=-2
Zusammenfassend :
Umrechnug z=Realteil+i*Imaginaerteil in Polarkoordinaten
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phi=arg(z)=arctan(Imaginaerteil/Realteil) (Auf Quadranten achten !)
|z|=Wurzel(Realteil^2 + Imaginaerteil^2)
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z=|z|(cos(phi)+i*sin(phi))
Das Neue und Praktische ist, dass fuer diese CiS Form (eulersche Formel) gilt :
|z|(
Cos(phi)+
i*
Sin(phi))=|z|(exp(i*phi))
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Das ermoeglichte die Potenz in die Klammer der Exp Funktion zu schreiben.
Aus |z|(cos(phi)+i*sin(phi))^(1/2) geht dies nicht sofort hervor.
Die CiS Formel kann man ueber die Taylorreihe von exp(i*phi) herleiten.
Zitat:
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W4=W0, W5=W1...usw, immer im Kreis rum, rum, rum..., wie ein Hamster im Laufrad, halt Mut andrehen.
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Genau. Das ist das Interessante der Gleichungen z^m=-1
Fuer z^Wurzel(2)=-1 lauft der Hamster z.B. ewig im Kreis herum ohne dass sich eine Loesung widerholt. Die Gleichung hat somit unendlich viele Loesungen.