Sodele jetzt noch der Vollstaendigkeit wegen :
Satz 2:
Zitat:
a) Bildet man ein Primorial p#, so folgt aus Satz 1), dass der kleinste Primfaktor von p#+1 groesser als p sein muss.
Mit Satz 4)
b) Bildet man eine Fakultaet k!, so folgt aus Satz 1), dass der kleinste Primfaktor von k!+1 groesser als der groesste Primfaktor von k! sein muss.
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Satz 3
Zitat:
p(n) sei die n-te Primzahl
Wenn p(n)#+1 eine zusammengesetze Zahl ist, dann ist die kleinstmoegliche Zahl, die fuer p(n)#+1 in Frage kommt das Quadrat der auf p(n) folgenden Primzahl also p(n+1)^2
p(n)#+1>=p(n+1)^2 (nichtprim)
p(n)#+1>=p(n+1) (prim)
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Weche Schranken in Satz 3 ergeben sich wenn ich wie in Satz 2b) die Fakulatet statt der Primzahlfakultaet betrachte ?
Fall 1 : In k ! sei k prim
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Aus Satz 2b) folgt unmittelbar
p(n) sei die n-te Primzahl.
Wenn p(n)!+1 eine Primzahl ist,dann gilt : p(n)!+1>=p(n+1)
Wenn p(n)!+1 keine Primzahl ist,dann gilt : p(n)!+1>=p(n+1)^2
Fall 2 : In k ! sei k nichtprim
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p(n) sei die n-te Primzahl.
k=p(n)+z, mit 0<z<p(n+1) aus Satz 4 folgt :
Wenn k!+1 eine Primzahl ist,dann gilt : k!+1>=p(n+1)
Wenn k!+1 keine Primzahl ist,dann gilt : k!+1>=p(n+1)^2
da p(n+1)>k gilt auch k!+1>k^2, falls k!+1 keine Primzahl ist
Beispiel :
2!+1 ist kleiner 2^2 => 3 ist prim
3!+1 ist kleiner 3^2 => 7 ist prim
4!+1 ist kleiner 4^2 => 13 ist prim
5!+1 ist groesser 5^2 => keine Entscheidung fuer 121
Die Bedingung ist fuer k>4 auch nicht mehr interessant
Fall1/2 lassen sich Zusammenfassen
Satz 3b)
Zitat:
p(n) sei die n-te Primzahl und groesster Primfaktor von k !
Wenn k!+1 eine Primzahl ist,dann gilt : k!+1>=p(n+1)
Wenn k!+1 keine Primzahl ist,dann gilt : k!+1>=p(n+1)^2
da p(n+1)>k gilt auch k!+1>k^2 falls k!+1 keine Primzahl ist (und immer fuer k>4)
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