[Cossy]

Vermutlich ist der Ablauf so:
Er leitet den Gamma-Faktor (1-v²/c²)-½ mit der Zeit her. Dort ist es am einfachsten.
Dieser Faktor wird bei bei der Zeit, der Länge und der Masse benutzt.
daher: mv = mo (1-v²/c²)-½. Keine Ersetzung, sondern einfach den Faktor bei der Ruhemasse benutzen.
Dann macht er eine Taylor-Entwicklung und man erhält: mv = mo + 1/2mo v²/c² + …
Wenn Du nun auf Grund der Einheiten ein c² multiplizierst kommt als Ergebnis auf der beiden Seite die Energie raus.
Die ersten beiden Terme der Taylor-Entwicklung entsprechen dann auch der klassischen Mechanik. Die zusätzlichen Terme sind bei v << c sehr klein.
Die Zeit wird nicht durch die Masse ersetzt. Der Gamma-Faktor muss in der Zeit wie in der Länge und der Masse benutzt werden.