[antaris]

Skalierung einer fraktalen dimension:

Gleicher Würfel wie oben mit Volumen von 1000 cm^3

ich will ihn um alle äußeren kleinen Würfel verkleinern. Der Teilungsfaktor bleibt erhalten, denn beim skalieren werden ja keine kleinen Würfel entfernt. Das stellt eine Transformation von einem Bezugsystem D in ein neues Bezugsystem D' dar.
D jeweils für die fraktale Dimension des Würfels.

Ursprungs D = 3



Transformierte D'

In verkleinerter Form überdeckt der Würfel nun in 8^3 cm = 512 cm^3 des ursprünglichen Würfels

N = 512 cm^3
f = 10 = Teilungsfaktor (nach wie vor in 10 kleine Würfel in jeder Achse, wird ja mitskaliert)

D = -(ln(N) / ln(1/f)) rund 2,70926



Skaliert man ihn auf die größe von 1 cm^3, also mit N=1, so hat der Würfel die fraktale Dimension 0 aber seine Kantenlänge ist 1 cm!
Man bedenke hier, dass wir mit gleicher Formel die euklidische Dimension des originalen Würfel berechnet haben

In der Betrachtung der fraktalen Dimensionen ist ein Punkt nicht Nulldimensional, er hat eine negative fraktale Dimension.

Wird der Würfel kleiner als seine kleinste ursprüngliche Teilmenge skaliert so ist D immer negativ und wird erst unendlich negativ, wenn N=0 eingesetzt wird.
N stellt dabei immer ein Volumen, also ist immer größer null.