Ich weiß es jetzt nicht genau, EVB - Besteht Deinerseits noch Klärungsbedarf?
Zitat:
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Zitat von Eyk van Bommel
Die Frage ist:
Jede innere Krümmung ist gleichzeitig auch stets eine äußere Krümmung.
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Sicherheitshalber:
Die Zusammenhänge zwischen innerer und äußerer Krümmung lassen sich recht einfach nachvollziehen - Betrachten wir hierzu eine 2D-Fläche in einem 3D-Raum.
1. Sind beide Hauptkrümmungen Null ist auch deren Produkt (= gaußsche Krümmung) Null - Damit liegen weder äußere noch innere Krümmungen vor.
Anschauliches Beispiel: Ein flach auf einem Tisch ausgelegtes Blatt Papier.
2. Ist eine der beiden Hauptkrümmungen Null und die andere nicht ergibt deren Produkt Null - Damit liegt eine äußere, aber keine innere Krümmung vor.
Anschauliches Beispiel: Ein zu einem Zylinder gerolltes Blatt Papier (Ränder unverbunden).
Anmerkung: Auf Basis der Ergebnisse, die rein mit den Mitteln der inneren Geometrie gewonnen werden, lässt sich nicht zwischen 1. und 2. unterscheiden.
3. Ist das Produkt der beiden Hauptkrümmungen ungleich Null müssen zwangsläufig beide Hauptkrümmungen ungleich Null sein (und umgekehrt) - Deshalb geht mit einer inneren Krümmung stets auch eine äußere Krümmung einher.
Anschauliches Beispiel: Eine 2-Sphäre aus Papier.
Aus diesen auf Mannigfaltigkeiten übertragenen "gaußschen Grundüberlegungen" leiten sich dann Vorstellungen unseres Universums als z.B. "Donut-förmig" (im Sinne seiner "äußeren Erscheinung" = äußere Geometrie) ab, da die bisher durchgeführten (WMAP- etc.) Messungen (= innere Geometrie) auf ein global (nahezu) flaches Universum schließen lassen.
In diesem Zusammenhang evtl. als Preisfrage in die Runde:
Warum eigentlich "Donut-förmig" und nicht einfach "eine flache Ebene"?
wkr
Marcus