[richy]

EDIT : Handrechnung liefert einfachere Ergebnisse als MAPLE

In der Praxis ist oft die Hauptdiagonale mit dem selben Wert belegt. Diesen Fall kann man auch allgemein behandeln :

Beispiel :

Matrix A=
[a11..a12]
[a21..a11]

Eigenwerte :
*********
det (A-L*E) = 0
(a11-L)^2-(a12-a21)=0


L1 := a11-q;
L2 := a11+q
q=(a12*a21)^(1/2)

Linkseigenvektoren :
****************
Sind die Rechtseigenvektoren der transponierten Matrix
Da a12 und a21 in q vertauschbar sind bleiben die Eigenwerte gleich.
Wegen det|(A-L*E)|=0 sind die Gleichungen linear abhaengig. Eine Variable kann als Parameter tau aufgefasst werden. Damit wird eine Gleichung fuer einen beliebigen Wert tau geloest.

Matrix AT (transponiert) =
[a11..a21]
[a12..a11]
****************************
Eigenwert 1 : L1 := a11-q;
(AT-L*E) =
[q..a21]
[a12..-q]

q*x1+a21*tau=0
x1=-a21/q*tau
Ich waehle : tau=x2=-1 =>
Linkseigenvektor 1 = [a21/q, -1]

***************************

****************************
Eigenwert 1 : L2 := a11+q;
(AT-L*E) =
[-q..a21]
[a12..+q]

-q*x1+a21*tau=0
x1=a21/q*tau
Ich waehle : tau=x2=1 =>
Linkseigenvektor 2 = [a21/q, 1]

***************************

Daraus ergibt sich die Linkseigenvektormatrix S_1
[a21/q, -1]
[a21/q, +1]


Die charakteristischen Variablen sind S_1*w :

C1=a21/q*w1 - w2
C2=a21/q*w1 + w2

Die Uebertragungsmatrix ist die Diagonalmatrix D=S_1*A*S
Ihre Diagonale traegt die beiden Eigenwerte L1 und L2

D=
[L1..0]
[0..L2]