ANWENDUNG ITERATIVER KREIS
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Dieser stellt keine PDE dar, aber ein gekoppeltes System.
Viel Neues ist nicht zu erwarten. Insbesonders keine reellen Eigenwerte, denn die Systemfunktion ist eine Drehmatrix.
Zitat:
Iterativer Kreis :
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z_re[k+1]=c_re*z_re[k]-c_im*z_im[k]
z_im[k+1]=c_im*z_re[k]+c_re*z_im[k]
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In Vektorschreibweise
z[k+1]=A*z[k] mit der Matrix A=
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c_re , -c_im
c_im , c_re
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mit
c_re=cos(2*Pi/N)
c_im=sin(2*Pi/N)
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Eigenwerte :
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L1 := cos(2*Pi/N)-(-sin(2*Pi/N)^2)^(1/2)
L2 := cos(2*Pi/N)+(-sin(2*Pi/N)^2)^(1/2)
L1:=cos(2*Pi/N)-I*sin(2*Pi/N)
L2:=cos(2*Pi/N)+I*sin(2*Pi/N)
Beide Eigenwerte bilden ueber N jeweils einen Halbkreis in der komplexen Ebene.
Die Transformationsmatrix S_1 gemaess der "Handrechnung" vom letzten Beitrag war :
[a21/q, -1]
[a21/q, +1]
mit
q=Wurzel(a21*a21)
eingesetzt :
q=(-sin(2*Pi/N)^2)^(1/2)
sin(2*Pi/N)^2 ist immer positiv daher die Wurzel stets imaginaer
q=I*sin(2*Pi/N)=c_im=sin(2*Pi/N)=I*a21
q=I*a21
Damit erhalten wir fuer die Transformationsmatrix S_1 :
[I, -1]
[I, +1]
Die charakteristische Variablen lauten dann :
C1=I*w1-w2
C2=I*w1+w2
Fuer C1 ergibt die entkoppelte Gleichung :
C1[k+1]=L1*C1[k]
C1[k+1]=(cos(2*Pi/N)+I*sin(2*Pi/N))*C1[k]
ebenso fuer C2
C2[k+1]=(cos(2*Pi/N)+I*sin(2*Pi/N))*C2[k]
Was bringt uns dieses Ergebnis ?
Fast nichts :-)
Denn wir sind ja schon von einer komplexen, entkoppelten Ausgangsgleichung ausgegangen :
Zitat:
Eingesetzt :
z[k+1]:=cos(2*Pi/N)+I*sin(2*Pi/N)*z[k]
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Das Ergebnis sagt uns daher lediglich :
Bisher haben wir wahrscheinlich richtig gerechnet !
Und den Formalismus koennen wir somit fuer andere Probleme anwenden.
Im naechsten Beitrag stelle ich eine Methode vor, wie man die Matrix A fuer die primitiven Variablen [w1,w2] in zwei Matrizen M1 und M2 zerlegt, die jeweils die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix beinhalten. Also eine gemischt primitive, charakteristische Form.
So long.