Hi Eugen
Zitat:
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Leonhard Euler hat sich im Jahre 1770 bei dieser Aufgabe verrechnet.
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Das kann ich fast nicht glauben :-) Hast du einen Link zu der Geschichte parat ?
@SCR
Zu meinem letzten Thread nochmals zusammengefasst :
- Die imaginaere Achse entspricht einer dimensionalen Erweiterung der reellen Achse
- Nur mit den komplexen Zahlen macht der Hauptsatz der Algebra einen Sinn.
- Bei der Multiplikation komplexer Zahlen wird der Betrag wie bisher multipliziert. Das Vorzeichen ist jedoch kontinuierlich und kann ueber einen Winkel dargestellt werden. Dieser muss gesondert berechnet werden. Fuer Multiplikationen verwendet man somit die eulersche Darstellung.
z1*z2=r1*exp(i*phi1)*r2*exp(i*phi2)= ... r1*r2*
exp(i*(phi1+phi2))
Resultierendes kontinuierliches "Vorzeichen"=Phasenwinkel
Fuer Additionen verwendet man die triviale vektorielle Form z=x+iy.
Vorsicht !
Es ist eine willkuerliche Vereinbarung, aber fuer eine komplexe Zahl verwendet man gerne die "Variable" z=x+i*y. Alleine damit deutet man schon an : "Jetzt rechne ich komplexwertig" Man drueckt damit aber noch mehr aus und muss daher sehr aufpassen wenn man z statt x im vereinbarten Sinn schreibt. Denn ...
x und y stellen Zahlengeraden dar. Die Realteil- und Imaginaerteilachse. Es existiert aber keine z-Achse und ebensowenig eine f(z) Achse, denn f(z) kann ebenso eine komplexe Zahl darstellen und ist somit selbst ein Punkt in einer Ebene, ein Vektor. z und f(z) stellen Zahlenebenen dar. Jetzt wird es kompliziert, denn die Abbildung f(z) muesste man 4 dimensional darstellen. Das geht nicht. Man kann daher lediglich Betrag oder Phase=Winkel oder Realteil oder Imaginaerteil ueber der komplexen Ebene in 3D darstellen.
Oder Betrag als Wert auf einer Achse und die Phase als Farbe
Oder Realteil als Wert auf einer Achse und Imaginaerteil als Farbe
...
Wir suchen f(z)=0 und wenn der Vektor die Laenge 0 aufweist, dann ist dies gegeben.
In der Abb2) habe ich daher daher |f(z)| mit Phasen Farbenspiel dargestellt
Das bunte Farbenspiel stellt den Phasenwinkel dar.
Das haette ich vorher schon bemerken sollen. Wollte dies aber nicht gleich verkomplizieren.
Es ist ok wenn du dir sagst :
Komplexwertige Schnittpunkte schweben bei einer reellwertigen Darstellung einer Funktion auf meinem Monitor vor oder hinter diesem.
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Etwas fortgeschrittener Teil :
Allgemein gilt :
Bestimmen wir einfach mal die Funkionen u und v unseres Beispiels :
f(z)=z^2+1=(x+i*y)^2+1=x^2+2ixy-y^2+1
u(x,y)=x^2-y^2+1
v(x,y)=2xy
Fuer den Betrag muss man nun Wurzel (u^2+v^2) bilden. Das gibt einen etwas unhandlichen Ausdruck. Abbildung 2 stellt dessen Betrag dar.
Wenn gilt f(z)=0 dann gilt auch |f(z)|=|0| (Ok, bischen wackelig)
Der etwas unhandliche Ausruck hat zwei Nullstellen. i und -i.
Der falsche Weg :
Wie waere es wenn wir lediglich fordern der Realteil von f(z) soll null sein ?
x^2-y^2+1=0
x=Wurzel(y^2-1). x soll eine reele Zahl sein. Fuer -1>y>1 gibt es reelle Loesungen (wohl auf einer Hyperbel) fuer x.
Diese Bedingung Re(f(z))=0 kann somit nicht der Bedingung entsprechen f(z)=0, denn fuer Re(f(z))=0 existieren unendlich viele reelle Loesungen.
Wenn wir schon dabei sind koennen wir noch pruefen ob unser f(z) eine holomorphe Funktion darstellt. Dazu muesste sie die Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen erfuellen.
und
Klingt kompliziert ist aber ganz einfach in der Durchfuehrung.
u(x,y)=x^2-y^2+1
v(x,y)=2xy
Wir bilden alle partielle Ableitungen :
δu/δx=2x
δu/δy=-2y
δv/δx=2y
δv/δy=2x
Wir pruefen und sehen : Unsere Funktion f(z)=z^2+1 ist holomorph !
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Gruesse