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Alt 05.08.19, 09:48
Zweifels Zweifels ist offline
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Standard AW: Logische Systeme

Hier noch eine kurze Zusammenfassung über meinen Kenntnisstand in der Logik:
Die Logik kann meiner Meinung nach am Besten mit der mathematischen Mengenlehre im euklidischen Raum definiert werden (z.b. mit Hilfe der Teilmenge). In ihr kann nur dann zwingend logisch von A auf B geschlossen werden, wenn die Information in A grösser ist als in B.
Eine wahre materielle Implikation aus A=>B ist z.B.
Ich komme aus Bayern => ich komme aus Deutschland.

Die Information A (Bayern) ist grösser als B (Deutschland), also ist A>B, man schliesst immer auf allgemeineres. Bei der Negation gilt nach der mathematischen Ungleichung (A ungleich B) eine Multiplikation mit -1. Wenn A>B (z.B. 2>1) ist, dann ist -A<-B (also -2<-1), also kann zwingend von -B=>-A geschlossen werden.
Im Beispiel: Wenn ich nicht aus Deutschland komme, komme ich zwingendermassen nicht aus Bayern.

In den Zahlen gibt es sogar ein weiteres Element, die 0. Definiert man die Natürlichen Zahlen 1,2,3 etc als Aussagen A,B,C etc, können wir dieses Ausagen nicht nur negieren mit -A,-B,-C (-1,-2,-3) sondern auch mit der 0 in Beziehung setzen. Damit ist in abstrakter Form die Logik in den Zahlen mächtiger als die klassische Logik, da sie ja weiterhin die Zahlen mit Rechenoperationen verknüpfen kann.

So sieht z.B. der klassische Beweis von Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, als Widerpruchsbeweis folgendermassen aus:

Aus A =>B
Aus Primzahlen => unendlich

A UND -B => B UND -B
Aus Primzahlen UND endlich => unendlich UND endlich (=Widerspruch also falsch)
Aus Primzahlen UND endlich => Widerspruch

Und Euklid macht das nun folgendermassen:
Er nimmt an, dass es endlich viele Primzahlen gibt und damit ein grösste Primzahl p(n). Dann multipliziert er alle Primzahlen p(1) bis p(n) und zählt 1 dazu.
Über die Zahl p(1)*p(2)*p(3)*...*p(n) +1 weiss man, dass sie nicht durch p(1), p(2),..., p(n) teilbar ist, demnach ist diese Zahl entweder selbst eine Primzahl oder aber teilbar durch Primzahlen grösser als p(n). Und das führt zum Widerspruch mit der Annahme, p(n) wäre die grösste Primzahl und weiterhin, es gäbe endlich viele Primzahlen.

Ge?ndert von Zweifels (05.08.19 um 10:14 Uhr)