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Alt 27.04.08, 11:56
Uli Uli ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beiträge: 1.798
Standard AW: Lorentztransformation

Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Hallo Uli,

...
Mich würde mal die Berechnung eines konkreten Beispiels (also mit konkreten Werten) interessieren. Also wenn wir das Koordinaten-Vierbein (ct, x, y, z) mit der Rotationsmatrix multiplizieren.

Kennst du da vielleicht Quellen im Netz?

Das Skalarprodukt des Zeit-Ortsvektors ist ja bei 2 Raumdimensionen mit sich selbst lorentzinvariant:

(ct')²-x'²-y'²-z'²=(ct)²-x²-y²-z²

Wie verhält es sich aber bei 3 Raumdimensionen?

Wir haben dann ja nicht mehr v=(vx,0,0) oder v=(vx,vy,0) sondern v=(vx,vy,vz).
Lorentz-Transformationen sind ja gerade so definiert, dass sie die Menge der Operationen auf Vierer-Vektoren sind, die deren Sakalarprodukt (also nicht nur mit sich selber) invariant lassen. Das ist der invariante Minkowski-Abstand und dies gilt für den Minkowski-Raum (3 rämliche und 1 zeitliche Dimension).

Im Landau habe ich doch nichts gefunden, aber ich kann mal skizzieren, wie du zum einer LT mit einem Geschwindigkeitsvektor in einer beliebigen Richtung kommst, welche durch die 3
Euler-Winkel
charakterisiert wird.

Du rotierst erst dein Koordinatensystem derart, dass deine neue x-Achse mit der Bewegungsrichtung überstimmt und wendest dann die LT aus Wikipedia für den entsprechenden Boost in x-Richtung an; nach Ausführung des Boosts machst du die räumliche Drehung wieder rückgängig um zur Ausagangsorientierung deines KS zurückzukommen:

LT(tetax,tetay,tetaz,beta) =
= R(-tetax,-tetay,-tetaz) * LT(beta) * R(tetax,tetay,tetaz)

Diese Produktmatrix liefert dir die LT um den Boost beta in Richtung tetax,tetay,tetaz.

R(tetax,tetay,tetaz) ist dabei die Rotationsmatrix aus obigem Papier,



ergänzt um ein 4. Spalte und eine 4. Zeile (Zeitkomponente!), die aber diagonal ist mit dem diagonalen Element 1, denn eine Rotation in den 3 Raumdimensionen beeinflusst die 4. zeitliche Komponente ja gar nicht.

und LT(beta) ist dabei die Matrix für einen Lorentz-Boost in x-Richtung also


LT(beta) =

1/sqrt(1-beta^2) 0 0 -v/sqrt(1-beta^2)
0 1 0 0
0 0 1 0
-beta/[c*sqrt(1-beta^2)] 0 0 1/sqrt(1-beta^2)

Ich hoffe, du ahnst, was ich meine.
Das entsprechende beta ergibt sich dabei einfach aus dem Betrag deines Geschwindigkeitsvektors
beta = sqrt(vx^2 + vy^2 + vz^2) / c

Das artet im allgemeinen Fall natürlich zu einer ziemlichen Rechnerei aus.

Gruß,
Uli

Nachtrag:
hier - in dem Artikel über Lorentz-Transformationen - sind die Grundlagen beschrieben, scheint mir:
http://mathe-base.de/relativitaetstheorie.php
allerdings hat er die t-Komponente als 0-te gewählt, kommt also zuerst, bei mir oben dagegen zuletzt.
Und er meint, dass man mit Rotationen um 2 Koordinatenachsen (bei ihm die Winkel fi und teta) auskommt, um sein KS in Richtung des Gescheindigkeitsvektors auszurichten (während ich oben von 3 Winkeln (tetax, tetay, tetaz) ausgegangen war).

Geändert von Uli (27.04.08 um 12:40 Uhr)
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