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Zitat von richy
Was krümmt den Raum ?
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Tatsächlich ist es eine etwas kompliziertere Größe, die den Raum krümmt: Der Energie-Impuls-Tensor.
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Wenn die Struktur der Raumzeit der Gleichung:
[1] dτ² = (1+2Φ)dt² - (dx²+dy²+dz²)
entspräche, wäre der Raum euklidisch. Das folgt aus der Tatsache, dass der Eigenabstand ds zwischen benachbarten, raumartigen Ereignissen durch ds²=-dτ² gegeben ist.
Durch das einfache Gedankenexperiment einer rotierenten Scheibe, gelangte EINSTEIN zu dem Schluss, dass
[1] falsch schein muss!
(Das haben wir hier im Forum auch schon umfassend erörtert.)
Die Gleichung
[1] für das Eigenzeitintervall zwischen zwei benachbarten Ereignissen muss also durch eine Beziehung ersetzt werden, die sowohl der Raumkrümmung als auch der Zeitdilatation Rechnung trägt:
[2] dτ² = (1+2Φ
00)dt² - (1+2Φ
11)dx² - (1+2Φ
22)dy² - (1+2Φ
33)dz² + 2Φ
01dtdx + 2Φ
02dtdy + 2Φ
03dtdz + 2Φ
12dxdy + 2Φ
13dxdz + 2Φ
23dydz
Wir sehen, dass an die Stelle eines einzelnen grav.Potentials (Φ=Φ
00) nun 10 grav.Potentiale Φij treten. (Das hatten wir auch schon mal im Forum behandelt)
Wir wissen (lässt sich zeigen), dass Energie und Impuls wegen der Relativität der gleichförmigen Bewegung untrennbar zusammen hängen.
Mit dt/dτ = 1/√(1-v²/c²) folgt für die Energie und die 3 Impulskomponenten:
E=E
o(dt/dτ), p
x=E
o(dx/dτ)/c², py=Eo(dy/dτ)/c², pz=Eo(dz/dτ)/c²
Die Energie eines Teilchens ist mit dem Impuls auf die gleiche Weise verknüpft wie die zeitliche Verschiebung mit der räumlichen:
E : p
x : p
y : p
z = dt : dx : dy : dz
Die Materiedichte ρ ist das Produkt aus der Teilchenzahl pro Einheitsvolumen n und der Masse m=m
o(dt/dτ) eines Teilchens, bei räumlicher Verteilung von Teilchen gleicher Ruhemasse m
o. Entsprechend ergibt sich für die x-Komponente des Impulses pro Einheitsvolumen nm(dx/dτ).
n hängt vom BS ab: n=n
o(dt/dτ), mit n
o=Ruheteilchenzahl pro Einheitsvolumen.
Soweit klar?
Die Energie und Impulsdichten lassen sich nun wie folgt ausdrücken:
1. nm
o (dt/dτ) = n
om
o (dt/dτ) (dt/dτ)
2. nm (dx/dτ) = n
om
o (dt/dτ) (dx/dτ)
3. nm (dy/dτ) = n
om
o (dt/dτ) (dy/dτ)
4. nm (dz/dτ) = n
om
o (dt/dτ) (dz/dτ)
Diese 4 Größen lassen sich als Komponenten eines Feldes auffassen, die man in der Form:
n
om
o (dx
i/dτ) (dx
j/dτ)
darstellt, indem man x
1=x, x
2=y, x
3=z und x
4=t setzt.
Das ergibt dann 16 Kombinationen (4 mal 4), aber nur 10 davon unterscheiden sich als physikalische Größen.
4 davon haben wir gerade betrachtet, die 6 fehlenden Größen charakterisieren einen Impulsfluss.
Bei all dem ist entscheidend, dass das Relativitätsprinzip zu einer untrennbaren Verknüpfung von räumlicher Masseverteilung und räumlicher Impulsverteilung bzw. Impulsfluss führt. Relativistisch lässt sich eine Masseverteilung nicht mehr mit einer einzigen Größe ρ
o=n
om
o beschreiben, sondern man braucht 10 verschiedene Größen, die man mit den Indizes i und j wie folgt schreiben kann:
Tij = = nomo (dxi/dτ) (dxj/dτ) , mit i = j = 1,2,3,4
Mit
Tij wird die Struktur der Raumzeit durch ihren Masseinhalt bestimmt.
Tij ist eine Art verallgemeinerter Vektor, also ein Tensor, genauer der berühmte
Energie-Impuls-Tensor.
Gruß EMI