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Alt 18.03.10, 18:43
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richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
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Beitr?ge: 4.170
Standard AW: Was ist ein Vektorpotential

Hi Nancy
Du musst hier zwischen dem Operator und den Feldern unterscheiden.
Das Durchflutungsgesetz der Maxwellgleichungen lautet :

rot, ausgesprochen Rotation ist dabei ein raumlicher Differentialoperator.
Wichtig dabei ist, dass hier alle Feldgroessen Vektoren darstellen. Die Richtung spielt eine Rolle. Und dies praegt auch Eigenschaften des Rotationsoperators.
Man kann sich dieses operative Verhalten einfach durch die Rechte Handregel veranschaulichen :

Das waere die anschauliche Erklaerung (phne dD/dt) . Fliesst ein Strom entsteht um diesen ein geschlossenes Magnetfeld. Man sagt das Feld ist nicht wirbelfrei. Das Magnefeld ist praktisch der integrale Gesamtwirbel.

Man sieht an der Gleichung dass sich rot{} auch noch anders darstellen laesst. Ueber dieses Dreick und das Kreuz. Das ist der Nabla Operator und das vektorielle Kreuzprodukt. Es ist lediglich eine andere Schreibweise :

"Operator" besagt dass dies keine einfache Funktion ist, sondern einen Operator stellt man sich am besten als Black Box vor. In die Blackbox geht was rein, das B Feld und man erhaelt einen Output, Stromdichte . (Das ist die operationelle Reihenfolge)

Ein Operator waere z.B : "Diffenziere eine Funktion nach x !" :
Output=d{Input}/dx
Output=d{}/dx. Die Operatorklammer laesst man meist weg :
Output=d/dx
Der Operator selbst ist d/dx

Und im Bild oben sieht man, dass der Nabla Operator ein Vektor dieser Differenzieroperatoren ist fuer alle 3 Raumrichtungen.
(d/dx,d/dy,d/dz)
Und das Kreuz, Kreuzprodukt gibt an, dass man diesen Operator Nabla{} nach den Rechenregeln des Kreuzproduktes anwendet. Das ergibt zusammen den Rotationsoperator rot{}
Und wegen dem Kreuzprodukt sieht man, dass Rotation nur fuer Vektoren sinnvoll ist.
Wendet man das Skalarprodukt an Nabla{}*{} erhaelt man den Divergenzoperator der Elektrotechnik div{}
Der besagt ob es Quellen im Raum gibt.

Da ganze klingt kompliziert ist aber ungemein praktisch fuer die Anwendung, die dann sehr einfach ist.
Beispiel Divergenz


Ist der Input des Nabla Operators ein Skalar erhaelt man den Gradienten :


Und du hast dir leider das komplzierteste ausgesucht. Den rot Operator :


Sieht uebel aus, aber man kann sich dies leicht ueber einen Trick merken.

Anleitung:
Erstelle eine 3 mal 3 Matrix
Schreibe in die
1.Zeile Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems e_x,e_y,e_z
2.Zeile Die raeumlichen Diffentialoperatoren d{}/dx,d{}y,d{}/dz
3. Zeile Die Inputkomponenten: V_x,V_y,V_z

e_x, e_y, e_z
d/dx, dy, d/dz
V_x, V_y, V_z

Das ist eine Matrix M. Und jetzt bilde aus dieser Matrix M die Determinante. Auch dies laesst sich rein schematisch, handwerklich ueber die REGEL VON SARRUS loesen :
http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

Die Determinante ist doch kein Vektor ?
Doch. Nehmen wir die erste Komponente e_x*dA_z/dy
Der Einheitenvektor e_x sagt uns, dass dies zur x Komponente des Ausgangsvektors gehoert.
Und solaesst sich rot V erstellen.

Ohne diese schematischen Handlungen, Operatoren Nabla, rot, grad, div waere die Handhabung der Maxwellgleichungen fast unmoeglich.
Es kommt aber noch besser. Denn fuer diese ganzen Operatoren betehen auch Rechenregeln.
http://de.wikipedia.org/wiki/Nabla-Operator
Und damit kann dann auch ein Nichtmathematiker mit PDE Systemen wie den Maxwellgleichungen umgehen.

Gruesse

Ge?ndert von richy (18.03.10 um 18:47 Uhr)
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