Die Kosinusfunktion reicht von minus unendlich bis unendlich und weist in diesem Intervall unendlich viele Perioden auf. Damit existieren unendlich viele ganzzahlige Werte n der Umkehrfunktion arccos(x+n*2*Pi), die identische Werte liefern. Die arccos-Funktion ist "unendlich mehrdeutig".
Die Umkehrfunktion der r=4 Verhulst Gleichung lautet :
1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi)));
welche Periodizitaet weist diese Funktion fuer ein festes t und variables n auf ?
Annahme :
Die Funktion ist 2^k periodisch.
Im Moment kann ich dies leider auch mit Maple nicht begruenden.
Gl1)
solve(cos(2^(-k)*(arccos(1-2*0.2)+n*2*Pi))=cos(2^(-k)*(arccos(1-2*0.2)+m*2*Pi)),m);
Die Annahme folgt aus dem bisherigen Beispiel und graphischer Auswertung obiger Gl1) fuer einige k.:
Beispiel :
k=0
.961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563
.961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563 .961563
k=1
.401973 .598026
.401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026
.401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026 .401973 .598026 .401973
k=2
.113339 .817007 .886660 .182992
.113339 .817007 .886660 .182992
.113339 .817007 .886660 .182992 .113339 .817007 .886660 .182992 .113339
k=3
.029186 .286111 .668329 .951942 .970813 .713888 .331670 .048057
.029186 .286111 .668329 .951942 .970813 .713888 .331670 .048057 .029186
k=4
.007350 .077540 .212045 .390389 .585420 .767447 .908757 .987837
.992649 .922459 .787954 .609610 .414579 .232552 .091242 .012162
.007350
Den jeweils kleinsten Index n als Losung zu verwenden stellt eine willkuerliche Wahl dar. Die Grafik der unstetigen Loesung zeigt, dass diese nicht optimal ist. In jedem Abschnitt k-1...k stellt nicht nur n0 sondern jedes n0+m*2^k eine Loesung dar. m element N.
Die Grafik der Vorwaertsiterierten zeigt, dass die inverse Iteration mit hoher Frequenz, grossem n beginnen muss. Abhaengig von der Gesamtlaenge der Funktion :
Ausschnitt
Jeweils kleinster Index :
n=0 test=.9708133260000
n=1 test=.5854205391000
n=1 test=.8219392260000
n=1 test=.2890137601000
n=9 test=.9216000000000
n=9 test=.6400000000000
n=9 test=.2000000000000