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Alt 21.08.07, 21:58
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richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
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Standard AW: Kombinatorik-Rätsel

Hi rene MP
Die Kombinatorik ist ueberhaupt wichtigster Teil der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Eine Wahrscheinlichkeit berechnet sich ja immer ueber der Anzahl der "guenstigen" Falle / allen Faellen. Und die Anzahl der Faelle ergibt sich eben aus Ueberlegungen der Kombinatorik. In meiner Studienzeit fiel mir dieses Thema immer schwer, denn es ist eine Thematik die nicht zu unserem evolutionaeren Erfahrungsraum gehoert. Man verschaetzt sich hier nur allzuleicht.

Dementsprechend hatte ich auch einen Merkzettel mit Beispielen zur Kombinatorik.
Eine gute Morglichkeit ist es auch zunaechst experimentell (Blatt Papier) das Prinzip der Moeglichkeiten zu erkennen. Aber statt alle Faelle durchzuspielen, geht man dann ueber in die allgemeine Formulierung. Das spart Unmengen von Papier, bedarf aber etwas Erfahrung.

Ein schoenes einfachstes Beispiel ist die Frage nach der Wahrscheinlichkeit eines Sechsers im Lotto.
(Eine natueliche Herleitung des Binominalkoeffizienten)
****************************************
Ausgangspunkt :
Ich habe sechs Kugeln (Chancen) auf meinem Lottoschein getippt, im Ziehungsgeraet liegen 49 Kugeln.

1.Ziehung
*******
49 Moeglichkeiten gibt es. 6 sind fuer mich guenstig :
p1=6/49

2.Ziehung.
********
Es verbleiben noch 48 Kugeln im Geraet. Also 48 Moeglichkeiten.
Da ich einen 6-er tippen will, wurde auch eine meiner Tippzahlen bereits
in der ersten Ziehung "verbraucht". 5 stehen mir noch zur Verfuegung.
Die Wahrscheinlichkeit in der zweiten Ziehung ist somit :
p2=5/48

Und jetzt sollte man das Prinzip schon erkannt haben:
p1=6/49
p2=5/48
pn=(6-n+1)/(49-n+1)

Damit ich einen 6 er getippt habe muessen diese Wahrscheinlichkeiten sequenziell a priori erfuellt werden. Man merke sich einfach, dass die Wahrscheinlichkeiten dann miteinander multipliziert werden:

Einschub:
Die Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander a priorio eine 3 zu wuerfeln ist auch 1/6*1/6. Man sieht schoen. Habe ich bereits eine 3 gewuerfelt ist die Wahrscheinlichkeit 1/6. Das nennt man a posterio.
Und erklaert, warum es zwecklos ist beim Roulette zu warten bis oftmals rot gefallen ist und dann schwarz zu setzen :-)

a) p(sechser) = p1*p2..p6 = 6/49*5/48*4/47*3/46*2/45*1/44
b) p(sechser) = 1/13983816 etwa eins zu 14 Millionen

Wie kann man Ausdruck b noch beschreiben ?
Im Zaehler steht Z= 1*2*3*4*5*6 = 6! (sechs Fakultaet, gebongt :-)
Im Nenner steht N= 49*48*47*46*45*44
Das sind 6 Elemente, Zahlen.
49 ! waere 49*48*47*46*45*44*(43*42*41 ....2*1)
Wenn ich 49 ! mit 43 ! kuerze erhielte ich genau N
Warum 43 ! ? Weil 6 Elemente vorkommen. Es ist somit klar :
N=49 ! / (49-6) !

Die Chance einen Sechser zu Tippen ist somit Z / N = 6!*(49-6)! / 49!
( Ein 3 er ist weitaus schwieriger zu berechnen, aber )

Dieser Ausdruck sollte einem bekannt vorkommen. Es ist der Kehrwert des
Binominalkoeffizienten (6 ueber 49) (6|49) also (49 ueber 6) (49|6)
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient
Das Pascalsche Dreieck laesst also auch beim Lotto Gruessen :-)

JGC reduziert seine Weltanschauung meist auf eine longitudinale Welle :-)
Wie kann ich jetzt also meine belaechelten Parallelwelten, G4 Hintergrundraum,
informatorische, organistaorische Kanaele,morphologische Felder und Burkhard Heims
sechsdimensionalen Hyperraum (meine Welt) hier noch einbringen ?
Zum Beispiel in der Form :
( Tatsaechlich eine gute Uebung zur Kombinatorik )
**************************************
Lassen wir Herrn Heim beiseite und betrachten "einfach" mal einen sechsdimensionalen Hyperwuerfel. Was ein Wuerfel ist solte bekannt sein. Der hat 6 Seitenflaechen.
god does not play dice !
Naja lassen wir ihn mal mit einem 6-D Hyperwuerfel das Spiel spielen.
Nennen wir die Seitenflaechen dieses Wuerfels METRON !

Aufgabe :
*******
Wieviele Seitenflaechen (METRONEN) hat ein sechdimensionaler Hyperwuerfel ?

Loesungsvorschlag : (ueber Bitcodierung der Seitenflaechen)
***************
( Topic kann man zu (i) springen.)

Ein D Dimensionaler Einheits Wuerfel besteht aus 2 hoch D Eckpunkten
Bsp: 3 Dimensional

0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1

Enstpricht also genau der binaeren Codierung von 2 hoch D Zahlen
Dementsprechend besitzt ein Quadrat auch 2 ** 2 Ecken

Bsp: Flaechen eines 3 D Wuerfels
000 100 001 000 000 010
010 101 101 010 100 011
110 110 111 011 001 111
100 111 011 001 101 110

Man sieht: Bei der Flaeche eines 3 D Wuerfels definiert ueber dessen Ecken,
nimmt eine Dimension einen festen Wert 0/1 an. Dies kennzeichnet die Lage
der Flaeche. Waehrend die anderen Werte "variieren" 00 01 10 11
Das sind die Ecken des Quadrats
Jedes Variationspaar liefert 2**D/2**d =2**(D-d) Objekte.

************************************************** *****
JETZT KOMMT DER BINOMINALKOEFFIZIENT WIE BEI RENES RAETSEL INS SPIEL :
************************************************** ****
(i)
Wieviel Variationspaare gibt es ?
Beispiel D=4 d=2, v kennzeichnet die variierte Dimension
vv__
v_v_
v__v
_vv_
_v_v
__vv
Das ist die Kombination von d Elementen in D. Somit gibt es D ueber d
Variationspaare.
Ein D-dimensionaler Koerper besitzt also n,gemaess folgender Formel, d-dimensionale Raender:
*********************
n=D!/d!/(D-d)!*2^(D-d)
*********************
Damit besitzt ein 6 D Hyperwuerfel 240 Seitenflaechen !
*****************************************

Interessant ist hier die Variation, die auch in renes Raetsel auftritt :
Zitat:
2.
***
Gruppe A: 5xB;1xD
Gruppe B: 4xL;2xB,
Anhand Gruppe B:
(B1,B2),(B1,B3) .... 6 Moeglichkeiten
(B2,B3),(B2,B4) .... 5 Moeglichkeiten ... etc

6+5+4+3+2+1=21 Moeglichkeiten
oder kuerzer 7 ueber 2 = 7!/5!/2! = 6*7/2=3*7=21
M=21
Das ist die Struktur die zur Variation fuehrt.
Fuer Coder,Informatiker :

Schleife 1, a1 festhalten :
(a1,a2) (a1,a3) ... (a1,an)
Schleife 2, a2 festhalten :
(a2,a3) (a2,a4) ... (a2,an)
etc, weiter innere Scheife :
(a3,a4) (a3,a4) ... (a3,an)
....
(a(n-1),a(n))

Erkennt man diese Struktur, kann man sofort den Binominalkoeffizienten anschreiben.


@Marco
renes Raetsel ist noch nicht geloest ! :-)

Ge?ndert von richy (22.08.07 um 16:11 Uhr)
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