Hallo !
Keiner ne Idee, wie der Raum im gekrümmten Fall beschreibbar ist? Ich hab erstmal nur rausgefunden, dass der Ausdruck W(-det(gµv))*dV4 in der ART invariant ist.
Ich glaub ich habs!
ds^2 = grr dr^2
dA = wu(Det(g)) * R^2 *dTheta*dPhi*sin(dTheta)
dV = dA*ds = Wu(Det(g)) R^2 * dPhi*dTheta*sin(dTheta)*Wu(grr)*dr
dV4 = dV*(i)dt = Wu(Det(g)) R^2 * dPhi*dTheta*sin(dTheta)*Wu(grr)*dr*Wu(g00)*(i)dt = Det(g) * R^2 *dPhi * dTheta*sin(dTheta) * dr * (i)dt = 1 * R^2 *dPhi * dTheta*sin(dTheta) * dr * (i)dt
Wenn ich mich nicht irre, ist die Determinante von gµv (in Schwarzschild-Lösung und Buchhalter-Koordinaten) [zum Betrag!] :
(1-2Phi/c^2)*1/(1-2Phi/c^2)*1*1 = 1 (Nebendiagonalen und Nichtdiag-Elemente sind null, so bleibt nur die Hauptdiagonale!)
Häh??? Ist die Determinante so richtig ?
Noch ein Problem ist, dass Phi ja selbst von R abhängt. Ausser ich interpretiere Phi(r) mit dem LAUFparameter R und das Integral über Wu( grr dr^2) ist der tatsächliche Abstand S von der Singularität, bzw allgemein vom Ursprung. Ich müsste auch R^2 für die Fläche durch S^2 ersetzen. Wenn ich aus dem Ergebnis für V ein "pi von r" ableite und dies wieder über R abbilde, bekomme ich eine abfallende Funktion welche im Unendlichen wieder gegen pi-normal geht. Was ja zu erwarten wäre.
Leider kann ich dies alles nur numerisch. Ich bräuchte aber eine geschlossene Lösung.
Nachtrag! Erleuchtung
Die dr, dphi usw sind entlang Tangenten an die Geodäten des Raums und das Integral über die Tangentialräume ergibt den Verlauf des "effektiven" gekrümmten Raums. Interessant ist hierbei, dass der Tangential-Viererraum hier nicht von gµv abhängig ist und damit im gewissen Sinn mit dem Effektiv-Viererraum identisch. Ist das immer der Fall oder nur in der Schwarzschild-Lösung?? Wohl nur in der Sch-Lösung (siehe oben:Invarianz)
MFG ghosti