Ok jetzt weiter im Versuch dessen Motivation ich nochmal kurz zusammenfasse :
Ich moechte ueber ein mathematisches Modell einen determinierten physikalischen Zufall beschreiben. Nun ist anzunehmen, dass jedliches physikalische System mit einem physikalischen Zufall behaftet ist.
Mit einem Rauschprozess. Gell Kurt :-)
Um diesen zu eleminieren betrachte ich diskrtisierte malroskopische Objekte : Raupen, Kuehe, Baeume, Planeten etc ...
In einem einfachen Modell wird sich ein Baum nicht aufgrund der Quantenmechanik in zwei Baeume verwandeln.
Es bleibt die Frage ob die Unterscheidung zwischen einem Baum und zwei Baeumen eigentlich eine physikalische oder abstrakte Unterscheidung ist.
Das lasse ich aber mal aussen vor.
Jetzt hat sich gezeigt.
Die Verhulstgleichung als Prototyp des determinierten Zufalls (z.B. bei einer Raupenpopulation ) ist gar kein geeignetes Modell um den eigentlichen Vorgang bei diskreten Systemen zu beschreiben.
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung
Im folgenden moechte ich diese in ihrer urspruenglichen Form numerisch simulieren.
1) y[i]:=a/Pop_max*y[i-1]*(Pop_max-y[i-1])
2) y[i]:=a*y[i-1]-a/Pop_max*y[i-1]^2
Betrachten wir die Gleichung genauer, so sehen wir, dass das eigentliche Ziel damit auch nicht erreicht wird.
Das Ziel sollte sein einen determinierter Zufall lediglich ueber natuerlich Zahlen zu beschreiben.
In Gleichung 2 koennen wir dies beim ersten Summanden erreichen wenn a ganzzahlig ist.
Im zweiten Summanden wird es aber schwierig.
Der Ausdruck a/Pop_max*y[i-1]^2 muesste dazu ganzzahlig sein.
a, Pop_max, y[i-1]^2 sind ganzzahlig. Wir koennen aber nicht erwarten,
dass y[i-1]^2/Pop_max stets ganzzahlig ist. Dazu in einem determiniert chaotischen Prozess. Wir koennen nur aussagen, dass dieser Summand nicht irrational ist.
Dies genauer zu untersuchen wird noch kniffelig werden.
Zwischenbemerkung :
Falls es mir nicht gelingt mit der vorgestellten Methode einen physikalischen determinierten Zufall herzuleiten kann dies auch einfach daran liegen, dass die Methode ungeeignet ist.
Hat jemand eine bessere Idee ?
Obwohl die Methode anscheinend noch mangelhaft ist, stelle ich einige Ergebnisse hier mal vor :
Zunaechst laesst sich der der ganzzahligen Charakter ueber folgende Uebertragungsfunktion, Operator S{} erzwingen :
a) S(y)=floor(y)
b) S(y)=ceil(y)=(y-frac(y))
Diesen kann ich wie folgt anwenden :
i)
y[i]:=S{a/Pop_max*y[i-1]*(Pop_max-y[i-1])}
ii)
y[i]:=S{a/Pop_max*y[i-1]}*(Pop_max-y[i-1])
iii)
y[i]:=S{a/Pop_max}*y[i-1]*(Pop_max-y[i-1])
Methode iii) wurde ein a>4 also im "Cantorbereich" erfordern
Zur Veranschaulichung die Uebertragungsfunktionen fuer a=4,Pop_max=10 :
Beobachtung beim numerischen Experiment :
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Benutzt man die ceil() Funktion und den Parameter a=4, so kann die Population spontan "aussterben"
Das ist verstaendlich, denn die Funktion kann y[i] nach pop_max runden und im naechsten Schritt bedeutet dies das Ende der Population.
Als Tierfreund werde ich im folgenden daher floor(y) verwenden.
Beobachtung :
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Der Parameter a=4 fuehrt in der "analogen" Verhulst Gleichung zu chaotischem Verhalten. In der diophantischen floor Variante ist dies nicht der Fall !
Erst bei einer genuegend hoher Anzahl von natuerlichen Zahlen tritt
chaotisches Verhalten auf. Das hatte ich eher nicht erwartet !
Systematisches Erfassen.
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Der Grad von Ordnung-Unordung,Chaos,Zufall laesst sich ueber den Ljapunov Exponenten bestimmen.
Ueblicherweise wird dieser uber den Parameter a dargestellt.
Im folgenden habe ich diesen ueber die maximale Populationsgroesse pop_max und a=4 dargestellt.
Anmerkung:
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Den Ljapunovexponenten (also unser Zufallsanzeigegeraet) kann man
innerhalb der Simulation numerisch bestimmen.
Dabei muss jedoch die Ableitung der Uebertragungsfunktion analytisch bekannt sein.
http://home.arcor.de/richardon/richy...alytic/le1.htm
Man muesste aufgrund der unstetigen floor() Funktion hier die Distributionentheorie anwenden. Darauf habe ich in der folgenden Darstellung verzichtet. Diese ist daher auch fehlerhaft, aber dennoch bereits recht interessant.
Wer haette so etwas erwartet ?
Im naechstem Posting werde ich eine Methode vorstellen wie auch ohne Distributionentheorie der Ljapunovexponent fuer den konkreten Fall "fehlerfrei" berechnet werden kann.
Und diesen natuerlich darstellen.
Dazu muss ich noch bischen Programmierarbeit leisten.
Denke in einer Stunde bin ich fertig.