[Lambert]

Zitat von EMI

Hallo Uli,

ich werde es mal versuchen, vielleicht wird für Manchen auch die dunkle Materie sichtbar. Das sind die Stellen die man nicht versteht, die im Dunklen bleiben.

In der SRT gilt für den Abstand zweier Weltpunkte für das Quadrat des Linienelementes bzw. für die Metrik der Fläche:

ds² = dX1² + dX2² + dX3² + dX4²

Will man zu einem beliebigen System mit den Koordinaten x1, x2, x3, x4 übergehen, die in beliebiger Weise von X1, X2, X3, X4 abhängig sein können muss man den Abstand ds der Punktereignisse durch die neuen infinitesimalen Koordinatendifferenzen dx1, dx2, dx3, dx4 ausdrücken. (abgekürzt dxi mit i=1,2,3,4)

Die dxi erhällt man aus den dXi mit Hilfe der Differenzialrechnung, indem man den Satz von totalen Differenzial auf folgende Funktionen anwendet:

X1 = f1(x1, x2, x3, x4)
X2 = f2(x1, x2, x3, x4)
X3 = f3(x1, x2, x3, x4)
X4 = f4(x1, x2, x3, x4)

Für das totale Differenzial der dXi ergibt sich:

dX1 = (∂X1/∂x1) dx1 + (∂X1/∂x2) dx2 + (∂X1/∂x3) dx3 + (∂X1/∂x4) dx4
dX2 = (∂X2/∂x1) dx1 + (∂X2/∂x2) dx2 + (∂X2/∂x3) dx3 + (∂X2/∂x4) dx4
dX3 = (∂X3/∂x1) dx1 + (∂X3/∂x2) dx2 + (∂X3/∂x3) dx3 + (∂X3/∂x4) dx4
dX4 = (∂X4/∂x1) dx1 + (∂X4/∂x2) dx2 + (∂X4/∂x3) dx3 + (∂X4/∂x4) dx4

Die kartesischen Koordinaten dXi können wir somit durch beliebige (krummlinige) relative Gaußsche Koordinaten dxi ausdrücken.

Jetzt bilden wir dX1² + dX2² + dX3² + dX4², für dX1² erhalten wir folgende 10 Summanden:

dX1 = (∂X1/∂x1)² dx1² + 2(∂X1²/∂x1∂x2) dx1dx2 + 2(∂X1²/∂x1∂x3) dx1dx3 + 2(∂X1²/∂x1∂x4) dx1dx4
......+ (∂X1/∂x2)² dx2² + 2(∂X1²/∂x2∂x3) dx2dx3 + 2(∂X1²/∂x2∂x4) dx2dx4
......+ (∂X1/∂x3)² dx3² + 2(∂X1²/∂x3∂x4) dx3dx4
......+ (∂X1/∂x4)² dx4²

In analoger Weise (das erspare ich mir hier aufzuschreiben) ergeben sich je 10 Summanten dX2², dX3² und dX4² so das für das Quadrat des Linienelementes = 40 Summanten resultieren.

Führt man folgende "Abkürzungen" ein, ergibt sich:

g11 = (∂X1/∂x1)² + (∂X2/∂x1)² + (∂X3/∂x1)² + (∂X4/∂x1)²
g12 = ∂X1∂X1/∂x1∂x2 + ∂X2∂X2/∂x1∂x2 + ∂X3∂X3/∂x1∂x2 + ∂X4∂X4/∂x1∂x2
g13 = ∂X1∂X1/∂x1∂x3 + ∂X2∂X2/∂x1∂x3 + ∂X3∂X3/∂x1∂x3 + ∂X4∂X4/∂x1∂x3
g14 = ∂X1∂X1/∂x1∂x4 + ∂X2∂X2/∂x1∂x4 + ∂X3∂X3/∂x1∂x4 + ∂X4∂X4/∂x1∂x4

Sorry Text ist zu lang!! muss ihn teilen, geht gleich weiter.

EMI

Vielen Dank sofar, EMI,

was mich sofort auffällt, ist die 100% Symmetrie x1,x2,x3,x4. Das ist doch ein Postulat, oder?

Ob das gut geht?

Gruß,
Lambert