Zitat:
Zitat von wolfgang6444
Die Faktorisierung der Zustandsfunktion (manchmal auch Separation der Koordinaten genannt) hat nach meinem Verstaendnis noch garnichts mit dem Pauli-Prinzip zu tun, sondern ist fuer mich pure Mathematik:
Wenn sich ein vollstaendiger Satz an Observablen eines Systems so in disjunkte Klassen aufteilen laesst, dass der (potentielle Anteil) des Hamilton-Operators aus des zeitunabhaengigen Schroedinger-Gleichung des Systems in Summanden zerfaellt, die jeweils nur von den Elementen einer Klasse abhaengen, so laesst sich die zeitunabhaengige Zustandsfunktion des Systems als Produkt von Einzelzustandsfunktionen schreiben, die ihreresits nur von den Elementen dieser Klasse abhaengen.
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Das ist der bekannte Ansatz aus der Quantenmechanik.
Er ist jedoch
falsch für ununterscheidbare Teilchen. Für diese gilt zwingend, dass bei Vertauschen der beiden Teilchen
derselbe Zustand modulo eines Vorzeichens resultiert. Das ist mit dem Produktansatz nicht der Fall, und deswegen muss dieser Ansatz verworfen werden werden.
Zitat:
Zitat von wolfgang6444
Jetzt koennen aber in einem Mehrteilchensystem x und y (alias r1 und r2) jeweils fuer die 3 Raumkkodinaten der einzelnen Teilchen stehen. Wenn dann im Potential nur Terme wie 1/|r1| oder 1/|r2| auftauchen, aber nicht 1/|r1-r2| dann separariert psi(r1,r2) in phi1(r1)*phi(r2).
Stimmt das soweit?
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Normalerweise ja, für ununterscheidbare Teilchen nein.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Identical_particles
https://www.uni-muenster.de/imperia/...ipt/kap_09.pdf - insbs. 9.2, darin (9.21)
Nochmal: die Antisymmetrisierung ist
zwingend für Fermionen; dies hat nichts mit irgendeiner speziellen Dynamik oder irgendeinem Hamiltonoperator zu tun, sondern sie gilt für beliebige Systeme.
Du hattest zu Beginn das Pauliprinzip genannt. Bei Anwendung des Pauliprinzips für zwei Fermionen mit jeweils zwei möglichen Zuständen |A> bzw. |B> bedeutet dies, dass der resultierende Zustandsraum nicht 4-dimensional gemäß |A> ⊗ |A>, |A> ⊗ |B>, |B> ⊗ |A>, |B> ⊗ |B> sondern gemäß Antisymmetrisierung nur eindimensional entsprechend |A> ⊗ |B> - |B> ⊗ |A> ist. Das Pauliprinzip erzwingt diese Form des Zustandsvektors und verbietet den naiven Separationsansatz.
Daher ist es auch nicht so, dass der Wechselwirkungsterm hier etwas grundsätzliches ändern würde; der Produktansatz ist schon für wechselwirkungsfreie Fermionen nicht mehr gegeben.