[TomS]

OK, evtl. kommen wir so nicht weiter, deswegen ein konkreter Ansatz:

In deinem 2-Elektronen-System sei die Elektron-Elektron-Wechselwirkung zunächst Null bzw. sehr schwach. Außerdem hänge der Hamiltonian nicht vom Spin ab. Letzteres bedeutet, dass für die 1-Elektron-Wellenfunktion der Separationsansatz

Ψ(r,s) = φ(r) · χ(s)

erlaubt ist.

Für den Spinoperator S² sowie die 3-Komponenten S₃ gelten die Eigenwertgleichungen

S² χ = ½ (½+ 1) χ = ¾ χ
S₃ χ = s χ; s = ± ½

i.A. wäre Ψ ein zweikomponentiger Spinor; aufgrund des Separationsansatzes erhalten wir eine einkomponentige Wellenfunktion φ sowie die zweikomponentigen Spinoren

χ(+½) = (+½, 0)
χ(-½) = (0, -½)

Für den Grundzustand (!) setzen wir nun

Ψ(r₁, s₁; r₂, s₂) = φ(r₁) · χ(+½) ⊗ φ(r₂) · χ(-½) – φ(r₁) · χ(-½) ⊗ φ(r₂) · χ(+½)

Man beachte, dass beide Elektronen dieselbe (!) räumliche Wellenfunktion φ(r) jedoch unterschiedliche χ(+½), χ(-½) haben. Daraus folgt

Ψ(r₁, s₁; r₂, s₂) = φ(r₁) · φ(r₂) [χ(+½) ⊗ χ(-½) – χ(-½) ⊗ χ(+½)]

Der räumliche Anteil ist symmetrisch, der Spin-Anteil antisymmetrisch unter Vertauschung von 1 und 2; d.h. insgs., ist Ψ antisymmetrisch, so wie es sein muss.

Der Spin-Anteil beschreibt ein Singulett, wie man mittels der Anwendung des Operators

[S ⊗ 1 + 1 ⊗ S]² = S² ⊗ 1 + 1 ⊗ S² + 2 S ⊗ S

auf die o.g. Wellenfunktion sofort berechnet.

Da nun der Hamiltonian spinunabhängig ist, reduziert sich die Eigenwertgleichung

(H – E) Ψ(r₁, s₁; r₂, s₂) = 0

auf

(H – E) φ(r₁) · φ(r₂) = 0

Und damit landest du wieder bei einem Separationsansatz mit einer symmetrischen Ortsraumwellenfunktion. Du musst jedoch beachten, dass dies nicht allgemeingültig ist und erst nach Faktorisierung von Ψ funktioniert.