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Zitat von EMI
Die Uhren müssen beim Start und am Ende zum Vergleich zueinander ruhen.
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Hallo EMI,
so sehe ich das nicht. Die beiden Raumschiffe treffen sich beim Weltpunkt A und dort findet der Uhrenvergleich statt. Wozu Beschleunigung? Und warum müssen sie beim Uhrenvergleich zueinander ruhen? Hier nun meine Lösung der Aufgabe:
Nachdem kein bestimmtes Bezugssystem physikalisch auszeichenbar ist, darf man ein beliebiges Bezugssystem wählen, um das Alter von Marilyn zu berechnen. Ich wähle die Raumstation als Bezugssystem. Dies ist auch sinnvoll, weil sich alle Geschwindigkeitsangaben auf diese beziehen. Die Weltlinie der Raumstation entspricht deshalb der Ordinate, die ich im nachfolgendem Minkowski-Diagramm mit ict beziffert (siehe hierzu das Minkowski-Diagramm im Anhang).
In der Aufgabenstellung wurde nicht explizit angegeben, wann Marilyn geboren wurde. Die Geburt von Marilyn könnte sich zunächst an jedem beliebigen Weltpunkt des Weltlinienabschnitts [0A] ereignet haben. Welcher Weltpunkt das ist, kann aus der Tatsache, dass die Geburtsdaten in beiden Urkunden identisch sind, wie folgt abgeleitet werden:
Raumschiff "Marilyn" benötigt für den Weltlinienabschnitt [0C] die gleiche Eigenzeit wie Raumschiff "Orion" für den Weltlinienabschnitt [0D], weil beide relativ zur Raumstation die gleiche Geschwindigkeit v=0,1c haben. Nachdem das Mädchen Anna beim Weltpunkt D geboren wurde, muss Marilyn beim Weltpunkt C geboren worden sein, weil dieser das gleiche Datum trägt. Die Weltpunkte D und C tragen deshalb das gleiche Datum, weil die Weltlinienabschnitte [0C] und [0D] gleich lang sind. Gleichlange Weltlinienabschnitte im Minkowski-Diagramm bedeuten, dass nach dem Durchlaufen dieser Abschnitte gleiche Eigenzeiten in den Raumschiffen "Marilyn" und "Orion" verflossen sind.
Die Raumstation legt den Weltlinienabschnitt [BA] zurück, wobei die Eigenzeit t(R) verfließt. Das Raumschiff "Anna" legt den Weltlinienabschnitt [DA] zurück und das Raumschiff "Marilyn" legte den Weltlinienabschnitt [CA] zurück. Wenn sich "Marilyn" und "Anna" im Weltpunkt A treffen und im Raumschiff "Anna" die Eigenzeit t(Anna)=10a verflossen ist, ist in der Raumstation die Eigenzeit t(R) verflossen.
Im Raumschiff "Anna" verfließt die Eigenzeit:
(1) t(Anna) = t(R)•sqrt[1 - (v(Anna)/c)²]
Im Raumschiff "Marilyn" verfließt die Eigenzeit:
(2) t(Marilyn) = t(R)•sqrt[1 - (v(Marilyn)/c)²]
Dividiert man (2) durch (1), erhält man:
(3) t(Marilyn) / t(Anna) = sqrt[1 - (v(Marilyn)/c)²] / sqrt[1 - (v(Anna)/c)²]
Daraus folgt:
(4) t(Marilyn) = t(Anna)•sqrt{[1 - (v(Marilyn)/c)²] / [1 - (v(Anna)/c)²]}
Setzt man die Zahlenwerte t(Anna)=10 Jahre, v(Anna)=0,961046883c, und v(Marilyn)=0,1c und ein, ergibt sich für Marilyn die Eigenzeit
t(Marilyn) = 36 Jahre.
Marilyn ist also 36 Jahre alt und Anna ist 10 Jahre alt, wenn sich beide Raumschiffe beim Weltpunkt A treffen.
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof