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Alt 25.10.18, 12:24
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TomS TomS ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 04.10.2014
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Standard AW: Welche Form der Logik braucht man für die Physik

Zitat:
Zitat von Simon_St Beitrag anzeigen
Meine Vermutung zunächst ist, dass die Zustandsräume in der Quantenmechanik abzählbar unendlich sind, da diese durch Operatoren aufgebaut werden.
Zustandsräume der QM und QFT sind i.A. separable Hilberträume mit abzählbarer Hilbertbasis; es gibt jedoch Ausnahmen, bei denen überabzählbare Basen oder gar nicht-separable Räume betrachtet werden.

Im Falle von Orts- oder Impuls-Eigenzuständen werden überabzählbare Basen verwendet; diese liegen im Abschluss des ursprünglichen Hilbertraumes. Man erhält sogannte rigged Hilbert spaces. Allerdings ist das ein rein technisches Thema, die grundsätzliche Separabilität wird dadurch nicht in Frage gestellt.

Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
In den allermeisten Fällen stimmt das, aber es gibt halt auch in der Heisenberg-Darstellung immer noch den Orts- und den Impulsoperator. Die Anzahl der Eigenvektoren dieser Operatoren ist überabzählbar, wenn man von einem unendlich großen euklidischen Ortsraum und einem Teilchen ohne Wechselwirkung ausgeht. Beide Operatoren sind somit keine Matrix-Operatoren.
Richtig.

Dennoch ist der zugrundeliegende Hilbertraum separabel, nämlich isomorph zum L² bzw. zu l², auch wenn die verwendete Basis dies verschleiert

Nicht-Separatbilität ist eher exotisch.

In der QM musst du dich mit Funktionalanalysis sowie nicht-beschränkten Operatoren auf Hilberträumen auseinandersetzen; dabei ist m.W.n. mathematisch alles wohldefiniert (ich kenne folgende Themen im Rahmen der Funktionalanalysis, wo’s grenzwertig wird: der nicht-konstruktive Beweis der Existenz von Hamelbasen für beliebige Banachräume, der Satz von Tychonoff oder das Hahn–Banach Theorem auf Basis des Auswahlaxioms; ich sehe jedoch nicht, dass dies in der QM eine Rolle spielt)

Prinzipiell problematisch ist, dass bis heute kein Axiomensystem bekannt ist, gemäß dessen die Existenz wechselwirkender Quantenfeldtheorien auf Hilberträumen oder mittels C*-Algebren im Rahmen der algebraischen Quantenfeldtheorie garantiert werden kann; gesichert ist die Existenz lediglich für freie Quantenfeldtheorie sowie einige triviale Fälle mit WW.

Grundsätzlich glaube ich nicht, dass dich dies weiterbringt; du müsstest sehr viel Mathematik lernen, ohne dabei wirklich Physik zu betreiben. Das seit ca. 50 Jahren etablierte Standardmodell der Elementarteilchenphysik ist aus mathematischer Sicht noch nicht mal definiert, funktioniert aber für uns Physiker doch ganz gut :-)

Wenn dich derartige Fragen interessieren, dann solltest du im Umfeld der Millennium Prize Problems zu lesen anfangen:

http://www.claymath.org/millennium-p...s-and-mass-gap
http://www.claymath.org/sites/defaul.../yangmills.pdf
http://www.claymath.org/sites/default/files/ym2.pdf
__________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Ge?ndert von TomS (25.10.18 um 12:28 Uhr)
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