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Zitat von Ich
Ein "homogenes Gravitationsfeld" wird wohl am ehesten durch Rindler-Koordinaten beschrieben. Wobei hier anzumerken ist, dass die "Gravitationsbeschleunigung" hier sehr wohl vom Ort abhängt. Ein "homogenes Gravitationsfeld", wie der Begriff hier gebraucht wird, ist es, weil es einfach durch eine Koordinatentransformation in einer flachen Raumzeit erzeugt werden kann, ganz im Sinne des Äquivalenzprinzips.
Die Metrik lautet
ds²=-(ax)²dt²+dx²+dy²+dz².
Der "Raum" dieser Koordinaten wird durch dt=0 erzeugt und hat also die flache euklidische Metrik
ds²=dx²+dy²+dz².
Wenn ich mich nicht täusche, ist die tx-Ebene aber auch flach. Die Aussage "die Zeit ist gekrümmt" könnte sich dann bestenfalls auf die extrinsische Kümmung der t-Koordinatenlinien in einer Minkowskimetrik beziehen. |
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Zitat von Ich
Ich würde gerne präzise Begriffe verwenden. Krümmung ist ein wohldefinierter Begriff aus der Mathematik. Unter Krümmung des Raums versteht man in der ART die intrinsische Krümmung einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit. Die Zeit selber hat aber nur eine Dimension, sie kann nicht intrinsisch gekrümmt sein. Jetzt kann man noch eine Dimension dazunehmen und z.B. die Krümmung der t-x-Ebene anschauen. Die ist aber wohl auch flach - weil die Zeitdilatation linear in x ist.
Dann bleibt eigentlich nur noch die extrinsische Krümmung einer Kurve in einem einbettenden Raum. Die Kurve wären die Weltlinien der beschleunigten (= im Gravitationsfeld ruhenden) Beobachter, die Krümmung eben ihre Beschleunigung.
Zum höhenabhängigen Verlauf der Zeit: Wie gesagt geht die Zeitdilatation linear mit x. Mir fällt keine präzise Begründung ein, wie man aus diesem Verhalten die Wortwahl "Krümmung der Zeit" ableitet. Der Raum ist flach, das ist unstrittig. Aber in einem beschleunigten Bezugssystem scheint gar nichts gekrümmt zu sein, auch nicht die Zeit - außer in dem o.g. Sinne.
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Das macht keinen Sinn für mich. Zu argumentieren, dass keine Kürmmung vorliegt, weil das totale Differential krummliniger Koordinaten keine Krümmungsabhängigkeit zeigt, fußt meines Erachtens auf einem Irrtum. Im Gegenteil: Die Verwendung krummliniger Koordinaten und das Fehlen der Abhängigkeit von Termen zumindest zweiter Ordnung zeigt - soweit ich das jetzt sehe - eindeutig das Vorliegen einer Krümmung.
Wenn man Polarkoordinaten benutzt und sich entlang einer Kreisbahn bewegt, bewegt man sich in diesem Koordinatensystem freilich linear, und es gibt keine Krümmung würde man nur nach diesen Koordinaten differenzieren. Aber krummlinige Koordinaten werden so nicht differenziert, wenn man die Krümmung feststellen will. Hier muss man nämlich auch die Einheitsvektoren ableiten.
Einfacher ist es, wenn man bei den geradlinigen Koordinaten bleibt und die sind analog zu dem Wiki-Artikel über Rindler-Koordinaten, den du zitiert hast, in der Minkowski-Metrik so definiert: (wobei a die zeitunabhängige Beschleunigung ist)
x=cosh(at)/a
t=sinh(at)/a
Also sowohl die Ortskoordinate x als auch die Zeitkoordinate t erfahren eine Krümmung entlang der Zeitachse. Aber jetzt, wo ich das schreibe, wird mir klar, wie es der Autor der von Marco Polo zitierten Seite vermutlich gemeint hat. Es gibt nur eine Krümmung entlang der Zeitachse und nicht entlang einer der Raumachsen ... aber das finde ich ein wenig missverständlich, denn sowohl Raum als auch Zeit sind gekrümmt, nur halt entlang der Zeit.