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Alt 27.10.18, 22:23
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TomS TomS ist offline
Singularität
 
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Standard AW: Quantenfeldtheorie

In der QM1 benutzt man im wesentlichen den L²(B) der quadratintegrablen Funktionen f über einem Bereich B, oder den l² der quadrat-summierbaren Folgen. Für einen kompakten Bereich B kann man einen Isomorphism finden, gegeben durch die Fouriertransformation o.ä.

Für nicht-kompakte Bereiche funktioniert das zunächst nicht, da die Fouriertransformation eine unitäre Transformation auf dem L² selbst ist. Allerdings kann man für Wellenpakete auf dem L²(-∞,+∞) argumentieren, dass diese mittels Legendrefunktionen als Basis des L² dargestellt werden können; dann definieren die Koeffizienten bzgl. dieser Basis gerade wieder eine Folge im l².

Ebene Wellen oder temperierte Distributionen im Abschluss des L² sind meiner Meinung nach lediglich Artefakte der Rechenmethodik und haben keine physikalische Relevanz. Physikalische Zustände sind immer in gewisser Weise lokalisierte Zustände. Damit landet man in der QM1 immer beim l².

Elemente des l² entsprechen nun gerade den Zuständen des N-dim. quantenmechanischen Oszillators. Ein Basisvektoren des letzteren lautet gerade |n₁, n₂, ...>, ein beliebiger Zustand kann durch Superposition aus diesen Basiszuständen konstruiert werden, z.B. für N = 3

|ψ> = ψ₁₀₀ |1,0,0> + ψ₂₀₀ |2,0,0> + ψ₁₀₁ |1,0,1>

Nun ist natürlich nicht jedes Problem ein N-dim. harmonischer Oszillator. Da jedoch zwischen beliebigen separablen Hilberträumen immer ein Isomorphismus existiert, kann jedes Problem auf diesen Hilbertraum abgebildet werden (was für konkrete Berechnungen völlig impraktikabel wäre ;-) Die strukturelle Unterscheidung zwischen den Problemen liegt dann aber nicht in den Hilberträumen oder den Zuständen begründet, sondern in den darauf zu betrachtenden Operatoren. Nicht der Zustand trägt die Bedeutung, sondern nur der Zustand bezogen auf die Observablen, also z.B. den Hamiltonoperatoren

H = p²/2m + ½ mω²x²

H = p²/2m - α/r

Einen a-Teilchen-Hilbertraum Hª erhältst du formal als direktes Produkt mit Symmetrisierung über diesen 1-Teilchen-Hilberträumen h = h¹

Hª = (hh ⊗ ...) = ⨂ª h

In der Hamiltonschen Formulierung der QFT benutzt man den Fockraum F als Verallgemeinerung des Hilbertraumes für unendlich viele Teilchen.

Der Fockraum ist die direkte Summe der symmetrischen Tensoren über den a-Teilchen-Hilberträumen

F = ⨁ Hª = 1 ⊕ h ⊕ (hh) ⊕ (hhh) ⊕ ...

Zitat:
Zitat von Simon_St Beitrag anzeigen
Benutzt man in QM1 und Quantenfeldtheorie verschieden strukturierte Hilberträume?
Nicht wirklich.

Die zugrundeliegenden Hilberträume sind identisch. Man könnte auch ein N-Teilchen-Problem der QM1 im Fockraum definieren; der wesentliche Punkt ist, dass in der QM1 keine Operatoren verwendet werden, die die Teilchenzahl ändern.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Ge?ndert von TomS (27.10.18 um 23:24 Uhr)
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