Darstellung von 16 Loesungen auf dem Einheitskreis :
Waehlt man einen komplexen Startwert fuer z0, so aendert sich in diesem einfachen Fall lediglich die Phase der Loesungen auf dem Kreis.
Fuer |z0|<>1 aendert sich der Radius der Kreises mit jedem Iterationsschritt ueber
|z0|^(1/2^n), (2 te Wurzel, 4 te Wurzel, 6 te Wurzel ...) , jeweils der Hauptwert
Fuer z0<1 konvergiert der Radius gegen 1
Fuer z0>1 konvergiert der Radius gegen 0
Physikalischer Aspekt :
*****************
Den Kreis kann man auch als einfache Juliamenge betrachten. Und hier koennte man den physikalischen Aspekt in Erwaegung ziehen. Man darf nicht vergessen : Die obige Abbildung ist eine Darstellung in der komplexen Ebene. Waere z eine physikalische Groesse, Zustand, so waeren alle Mehrdeutigkeiten und damit die physikalischen Groessen komplexwertig. (Es existiert eine zusaetzliche physikalische Dimension. Die kann aber nicht real sein)
Wie will man damit physikalisch umgehen ?
Folgendes kaeme in Frage um die Zustaende zu "realisieren":
Hier wuerden mich eure Meinungen interessieren :
a)
Betragsbildung
b)
Projektion auf die reele Achse (Imaginaertei=0)
c)
Nur reelle Werte werden akzeptiert.
Fall Kreis :
*******
a)
Betragsbildung
Witzlos, denn der Betrag ist konstant gleich dem Hauptwert.
b)
Projektion auf die reele Achse (Imaginaerteil=0)
Physikalisch zweifelhaft
c)
Nur reelle Werte werden akzeptiert.
Witzlos, Es gibt nur einen reellen Wert z0=1
Echte Juliamengen ...
****************
.... weisen keine Kreisform, sondern verschiedene fraktale Formen auf.
a)
Betragsbildung
Waere eine interessante Darstellungsform dieser Mengen hinsichtlich der Physik
b)
Projektion auf die reele Achse (Imaginaerteil=0)
Physikalisch zweifelhaft
c)
Nur reelle Werte werden akzeptiert.
waere die "natuerlichste" Losung. Mit der Umkehrabbildung, Juliamenge der logistischen Gleichung kenne ich mich recht gut aus. Hier kann man folgendes feststellen :
y[k+1]=-r*( y[k]^2-y[k] )
Ueber r laesst sich der Ljapunovexponent der Abbildung steuern. Also ob sich die Funktion determiniert oder determiniert zufaellig=chaotisch verhaelt. Fuer r=4 erhaelt man maximales Chaos.
Fuer r=4 kennt man sogar seit 2002 eine analytische Loesung !
Eigentuemlicherweise ist es so, dass in dem Maß in dem man sich dem Chaos naehert, die komplexwertige Umkehrabbildung zunehmend fraktal wird. Aber zugleich sich auch immer mehr Werte der Mehrdeutigkeitsloesung der reellen Achse naehern, bzw rein reell sind. Das sind die chaotischen, mehrdeutigen Attraktoren dieser Gleichung.
(Dazu stelle ich noch Bilder ins Forum)
Fall c) wuerde bedeuten, dass die Dekohaerenz ueber chaotische Attraktoren zustande kommt. Und wenn man dies sehr spekulativ weiter betrachtet, koennte der Teilchencharakter tatsaechlich in der chaotischen Solitonenloesung begruendet sein.
Wegen der ganzen Rechnerei im Komplexen bitte nicht aus der physikalischen Diskussion aussteigen.
Gruesse