„Vielbein, Ladung, alpha“
Ich bringe mal meinen aktuellen Stand zu diesem Komplex.
Basisvektoren betrachte ich im Zusammenhang mit Quaternionen (bzw. Versor)
(schönes Video dazu:
https://www.youtube.com/watch?v=d4EgbgTm0Bg )
Vorab: Quaternionen sind komplexe Zahlen q= x0 + ix1+jx2+kx3 mit Vertauschungsrelationen ii=-1; ij=-ji=k etc.
Die i,j,k lassen sich als Basisvektoren eines (3D)-Vektorraums auffassen, die Vertauschungsrelationen beschreiben dann offensichtlich Drehungen und sind mit allem anderen, was Drehungen beschreibt, verwandt, z.B. Paulimatritzen: i, j, k => -i sigma(1,2,3).
Multiplikation +
Division von Vektoren mit Quaternionen entsprechen Drehungen mit unterschiedlichem Drehsinn (verwandt mit dem Kreuzprodukt).
Bei Kaluza gibt es Terme in der Metrik wie
g_11 = g_55 A1A1 mit A = EM-Potential
mit Basisvektoren
e1e1 = e5e5 A1A1 =?? e5e5 e1e5^-1 e1e5^-1
wäre A der „Quotient“ 2er Vektoren, in 3D nicht definiert, erfordert Beschreibung als Quaternion.
Orthogonale Quaternionen wären im einfachsten Fall i,j,k. Mit e1=i, e5=k ist e1e5^-1 = j und jk = i, d.h. man ist zurück am Anfang, bei e1 – klingt nicht ganz falsch, aber man bewegt sich buchstäblich nur im Kreis.
Um vom langweiligen Fall wegzukommen, kann man jetzt entweder Drehen (gegen was?) oder Orthogonalität fallen lasen. Letzteres wäre nötig für die übliche Beschreibung eines Lorentzboosts.
Was kann man damit anfangen?
Einen Zusammenhang, der direkt zu Spin ½ führt, sehe ich nicht. Vielleicht muss man sich damit abfinden, dass ½ der Fermionen schlicht eine Folge der Impulserhaltung bei Paarerzeugung -vernichtung ist.
Da im orthogonalen Fall e1e5^-1 = e2 hat man eine Verknüpfung mit den anderen ei/e5, d.h. den anderen A_i. Daraus sollten sich die Maxwellgll. ergeben. Das der prinzipielle Ansatz zu diesem Resultat führt, hat Kaluza bereits demonstriert.
ei/e5 ist abgehakt, was ist mit anderen Quotienten?
=> ei/e1 ~ Weg/Zeit, im elementaren Fall ei/e1 = c_0 ?
Auch hier würde diese Beschreibung
als Quaternion eine Relation mit einem orthogonalen Basisvektor ej implizieren und damit einen Zusammenhang mit allen anderen ei => wieder Maxwell, evtl. Ursache für Spin?
grüße,
kwrk