[Ich]

Ok, verstehe.

Ich glaube, das Problem liegt darin, dass du das Potential wie ein Skalarfeld betrachtest, also wie etwas, das an jedem Ort zu jeder Zeit einen wohldefinierten Wert hat, der unabhängig vom Bezugssystem ist. Wie etwas, das man lokal messen kann.
Wenn dem so wäre, dann würde ein bewegter Beobachter das ebene veränderliche Potential "gekippt" sehen und so auf ein Gravitationsfeld schließen. Das wäre auch noch dazu mit Gezeiten versehen, weil das Pulsieren ja nicht linear ist.

Damit hätten wir in einem Bezugssystem eine flache Raumzeit und im anderen eine gekrümmte, und das kann nicht sein.

Man sollte sich vor Augen halten, dass das einzig Kovariante in der ART die Krümmung ist. "Keine Krümmung" bestimmt einen Raumzeitabschnitt in sich vollständig. Eine flache Raumzeit ist so flach wie jede andere.
Gravitationsbeschleunigung entsteht daraus erst durch Integration, und die ist abhängig vom gewählten Koordinatensystem.
Und erst durch eine weitere Integration, wieder abhängig vom Koordinatensystem, entsteht das Potential. Deswegen arbeitet man mit dem Potentialbegriff eigentlich nur in der Newtonschen Näherung oder in statischen Raumzeiten, weil er sonst nicht vernünftig definierbar ist.

Schon klar, dass das keine intuitive Bergründung ist, warum Birkhoffs Theorem gilt. Aber ich denke, es ist eine ausreichende Begründung, warum das Newtonsche Potential nicht das richtige Wegzeug für solche Sachen ist: es ist eben nicht lokal messbar, sondern ein mathematisches Konstrukt, das unter bestimmtem Bedingungen bestimmte Relationen zweier entfernter Punkte ausdrückt.

Dass das Theorem gilt, ist mathematisch bewiesen, das steht noch eine Stufe über Intuition, sofern man nicht an der ART zweifelt.