Ich versuche den Satz von Fermat zu beweisen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Gro%C3...rmatscher_Satz
Dazu verwende ich den Satz von Pyhtagoras (a²+b²=c²) und eine allgemeingültige Formel der
Aritmethik: (a+b)² = a²+2ab+b² = c² und Zeige, dass (Vorausgesetzt es existieren in den Zahlen
Pythagoreische Tripel, also diese:
https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel) der Satz von Fermat richtig sein muss:
a^n+b^n = c^n gilt erstmal in den Zahlen nur für n=2.
Wir nehmen den Satz des Pytagoras, in dem gilt: a²+b² = c² und verbinden ihn mit
dem speziellen Fall in den Zahlen, in der die Transformation c² => c²-2ab gültig ist:
a²+b² = c² <=> (a+b)² = c² => a²+b² = c²-2ab
Für c² <=> c²-2ab gilt er sowohl in den Zahlen als auch bei Pyhtagoras.
(a+b)^3 = c^3 ist die allgemeine Form für c^3 = a^3 + b^3
Fall 1)
(a+b)² * (a+b) = c² * c | a²+b² = c² ist in den Zahlen gültig => c²/(a²+b²) = existent;
(a²+ 2ab + b²) * (a+b) = c² * c | Es gilt (c²-2ab) = (a²+b²) = 1 => 1= (c²-2ab)/(a²+b²)
(a² + b²)*(a+b) =(c²-2ab)* c | Erweitere mit Phytagoras
(a² + b²)*(a+b) =(a²+b²-2ab)* c
(a² + b²)*(a+b) =(a²-2ab +b²)* c
(a² + b²)*(a+b) = (a-b)² * c
(a² + b²)*(a+b)*c = (a-b)² * c² | kürze mit Phytagoras
(a+b)*c = (a-b)²
c = (a-b)²/(a+b)
Fall 2)
(a+b)² * (a+b) = c² * c
(a²+ 2ab + b²) * (a+b) = c² * c | kürze mit Zahlen
(a+b) = c
c = (a+b) | gilt nur, wenn nicht zugleich a²+b²=c² gilt.
Fall 1) UND Fall 2)
Wenn es sowohl in den Zahlen als auch bei Phytagoras gelten soll gilt c=c
c = (a-b)²/(a+b)
c = (a+b)
Also:
(a-b)²/(a+b) = (a+b)
(a-b)² = (a+b)²
(a-b)² -2ab = (a+b)²-2ab | Es gilt (c²-2ab) = (a²+b²) = 1
(a-b)² -2ab = c²
(a² - 2ab + b²)-2ab = c² | ziehe Phytagoras ab
-4ab = 0
Für diesen allgemeineren Fall c^3 = a^3 + b^3 gilt also nicht der Phytagoras.
Damit gilt dieser Fall erst recht nicht mehr in den Zahlen.
Das gilt auch bei ungeraden Potenzen.
(a+b)² * (a+b)² = c²*c²
gilt nur für a+b=1=c
für (a + b) > 1 gilt c>1 und c>a und c>b
=> der Satz von Phytagoras gilt:
Wir definieren c*² => c²- 2ab
c² * (a+b)² = c²*c²
(a+b)*(a+b)= c²
a² + 2ab + b² = c² | kann nicht gleichzeitig gelten, wenn a²+b²=c² gilt.
q.e.d.
