Hi JGC
Vor 2 Tagen hat mein Rechner auch Spiralen ausgespuckt.
Aber in anderem Zusammenhang.
Bezueglich der Loesung der Gleichung z^x=1. Die letztendlich auf
die Loesung frac(x*k)*2*Pi fuehrt. k element N
Vielleicht dazu auch noch bischen Brainstorming:
Phi=goldener Schnitt, 0.681....
Zitat:
z=z0^x , x element reelle Zahlen und die frac() Funktion
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frac() soll die Nachkommastellen einer Funktion liefern.
Beispiel frac(7.1234)= 0.1234
Damit laesst sich das Argument der Zahl z0^x einfach berechnen.
Wie geht das ?
z0^x=|z0|^x exp(i*x*(arg(z0)+k*2*Pi))
Das ist eine Komplexe Zahl w mit folgendem Re und Im-Teil :
w=exp(i*x*(arg(z0)+k*2*Pi))=
cos(x*(arg(z0)+k*2*Pi))+i*sin(x*(arg(z0)+k*2*Pi))
Das Argument einer komplexen Zahl ist arctan(imaginaertei/realteil)
(Wobei der Quadrant beachtet werden muss.)
Wir erhalten fur arg(w) somit
arg(w)=arctan(tan (x*(arg(z0)+k*2*Pi)) )
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Nun ist arctan(tan(x)) nicht einfach x, denn tan(x) ist 2*PI periodisch.
Wir erhalten stattdessen eine 2*Pi periodische Saegezahnfunktion.
Und eine Saegezahnfunktion ist eine frac Funktion.
Anders ausgedrueckt :
Fuer arctan(tan(x*2*Pi) erhalten wir frac(x)*2*Pi
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und damit :
arg(w)=arctan(tan (x*(arg(z0)/(2*Pi)+k)*2*Pi ) )
arg(w)=frac(x*(arg(z0)/(2*Pi)+k))*2*Pi
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Zitat:
KLEINE ANWENDUNGEN
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Mit den bisherigen Ergebnissen kann man umgekehrt auch kleine Zusammenhaenge ueber die Fliesskommadarstellung von Bruechen herleiten. Dazu nuetzt man aus, dass fuer frac(x)=frac(y) auch gilt frac(x)*2*Pi=frac(y)*2*Pi. Damit uebertraegt man das Problem auf die Loesung von z^x=1 in der komplexen Ebene.
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Satz 1:
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Der Bruch a/b hat die selbe Nachkommastellen wie der Bruch a/b *(k*b+1)
k=0,1,2,3 ...
denn die Gleichung z^(a/b) hat b Loesungen Die b+1 te ist gleich der ersten.
frac(a/b)=frac( a/b*(k*b+1) )
"Beweis" :
a/b*(k*b+1)=(a*k*b+a)/b= k*a+a/b
Beispiele:
1) 0.11=11/100; 0.11*101=11.11
2) 5/7=0.7142857143; 8*4/7=5.714285714
Aus 7/5=1.4 kann ich ohne Rechnung sofort angeben, dass 7/5*6=42/5 oder 1.4*6 gleich 8.4 ist
Annahme 1:
Es gibt keine kleiner Zahl als q=b+1 fuer die gilt
frac(a/b)=frac(a/b*q)
Satz 2
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Fuer jede rationale Zahl p+frac(x),p element N laesst sich eine Zahl q element N finden, so dass (p+q+frac(x))/(p+frac(x)) eine natuerliche Zahl n ist.
n=p+q-1 ist dann der Nenner der Bruchdarstellung von p+frac(x)
n*p+frac(x) der Zaehler
Beispiel
8.4/1.4=6
5*1.4=7; 7/5=1.4
Satz 3
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Die Gleichungen z^Phi=z0 und z^(1/Phi)=z0 haben identische Loesungen., denn frac(Phi)=frac(1/Phi).
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Im moment ueberlege ob ich, ob die Bedingung frac(Phi)=frac(1/Phi) schon ausreichend ist als Beweis, das Phi irrational sein muss.
Den aus obigen Ueberlegungen folgt, dass ansonsten die Bruchdarstellung von Pho 1/0 oder 0/1 sein muesste.
Auf jeden Fall gehoert frac(Phi)=frac(1/Phi) zu den fundamentalen Eigenschaften von Phi.
Es gibt keine andere Zahl, die dies erfuellt.
frac(Phi*k) liefert eine Folge von Zufallswerten. (Falls Phi nicht approximiert ist)
Um deren Aufbau auf dem Einheitskreis zu verfolgen habe ich den Radius von k abhaengig gemacht. Das ergibt natuerlich Spiralen. Aber weitaus komplexere als deine.
Deine letzte Spirale waere eine rationelle Loesung. Einfach frac(1/b*k)