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Na wunderbar, dadurch wird die Formel zwar einfacher, aber die Rechnung im Minkowskiraum wird dadurch ingesamt viel komplizierter.
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Das ist eine Übungssache und hängt auch immer von der Anwendung ab. Die Jungs die sich mit irgendwelchen topologischen Strukturen von Faserbündeln herumschlagen finden den Zugang ziemlich natürlich und sind auch recht fix im rechnen mit Differentialformen. Der eher mathematisch orientierte Physiker schätzt halt die Abstraktheit und Allgemeinheit des Cartankalkül. Einen Experimentalphysiker oder E – Techniker wird man davon eher schwer begeistern können, aber der schaut einen auch an wie ein Auto, wenn man von einer U(1) Eichtheorie redet.
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Sie sind überhaupt von der Geometrie des Raumes und von der Auswahl des Koordinatensystems unabhängig und bevorzugen weder Galilei- noch Lorentztransformation, weder Drehung noch konforme Transformation.
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Diese Aussage ist tatsächlich richtig, wenn du dich auf die homogenen Maxwellgleichungen beschränkst. Im Cartankalkül wird das offensichtlich:
dF = ddA = 0
gilt auf Grund der Eigenschaften der Cartanableitung immer!
Im Fall der Inhomogenen Gleichungen:
d*F = j
Ist die Aussage so nur mit einem Sternoperator im Minkowskiraum richtig.
Was lernen wir daraus? Die Maxwellgleichungen haben bekanntlich Wellenlösungen. Wellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. Abseits jeglicher Ladungen (also im Vakuum) gelten aber Maxwellgleichungen, die völlig unabhängig von Koordinatentransformationen oder gar Metrikänderungen sind. Folge: Wenn die Maxwellgleichungen stimmen sollen, muss die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum eine Konstante sein!
Weitere Folge: Wir sollten im Weiteren eine Minkowskimetrik (sollte ja lokal immer gehen) annehmen um z.B. die Inhomogenen Gleichungen zu formulieren.
Ich würde sagen, das ganze ist selbstkonsistent.