[Ich]

Kann mir jemand sagen, warum sich die Atome bewegen ?
Ich meine, was macht deren Antrieb aus ?

Trägheit. Dinge brauchen keinen Antrieb, um sich zu bewegen. Wenn keine Kräfte einwirken, wird die Bewegung andauern.

Und wiese sind die Atome nicht längst auf eine Geschwindigkeit nahe Null abgebremst - sind alle Stösse mit anderen Objekten elastisch (kann man diese klassischen Begriff hier anwenden ?).

Ja, den kann man anwenden. Elastische Stöße sind in der Teilchenphysik solche, bei denen die Stoßpartner vorher und nachher im selben Energiezustand sind und keine weiteren Teilchen erzeugt werden.
Atomare Stöße sind ziemlich elastisch, aber es kommt auch vor, dass dabei (oder kurz danach) Photonen erzeugt werden, die Energie wegtragen. Das ist die Schwarzkörperstrahlung. Dadurch verringert sich in der Tat die Temperatur mit der Zeit - aber nur, wenn es außenrum kälter ist.

Und vor allem: wieso übertrages alle Objekte innerhalb eines abgeschlossenen System ihre gesamte Energie nach und nach auf die Atombewegung, so also ob diese die Energie "auf sich ziehen" würde.

Tun sie eigentlich gar nicht.
Atombewegung hat halt unwahrscheinlich viele Freiheitsgrade. Wenn man da irgendeine geordnete Energie (z.B. eine Schallwelle) reinbringt, dann funktioniert der Energietransport nur in eine Richtung: Aus der Schallwelle kann Energie in ungeordnete Atombewegung gehen, aber aus ungeordneter Atombewegung kann keine geordnete Schallwelle entstehen. Ob und wie schnell so ein Transport stattfindet hängt von den Details ab. Eine gespannte Feder z.B. hat wenig Veranlassung, ihre Energie in Atombewegung umzusetzen.