[Ich]

Ok, ich hab' PAllens Argument nachvollzogen:
Innerhalb des EH geht jede Weltlinie streng monoton in Richtung kleinerer r. Da die Metrik nicht explizit von t abhängt, kann man die Eigenzeit also ermitteln, indem man ds/dr ausrechnet und an jeder Stelle maximiert. Man möchte also für jedes dr , das man sowieso gehen muss, möglichst viel Eigenzeit herausschinden.
Dann folgt eigentlich direkt aus der Metrik, dass jedes dtheta, dphi oder dt, das man dazugibt, die Eigenzeit verringert. Also hält man die alle zu Null, und ist auf einer Linie konstanten ts unterwegs.
Diese Linie kreuzt tatsächlich den EH nicht, das ist aber kein Problem - es bedeutet nur, dass man sie nicht durch freien Fall von außerhalb erreichen kann.
Dass t=const eine Geodäte sein soll, folgt daraus nicht. Die Argumente für die Geodäte hab ich mir nicht genau angeschaut.
Der Rest entspricht dem, was ich auch gesagt habe. Das Wort "axial" bezieht sich nicht auf das Diagramm, sondern darauf, dass man auf Kreisen konstanten Umfangs bleibt.