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Zitat von richy
warum ich an der Bedingung 1) etwas zweifle : 1/p hat die Ableitung -1/p^2
ln((p-1)/(p-2)) hat die Ableitung -1/[(p-1)*(p-2)]
-1/p^2 = -1/[(p-1)*(p-2)] hat nur eine Loesung p=2/3
Der Betrag der Ableitung von ln((p-1)/(p-2)) ist fuer p>3 groesser als der von 1/p. Und da sich beide Ableitungen hier nicht mehr schneiden bleibt dies auch so.
ln((p-1)/(p-2)) faellt somit stets schneller als 1/p und muss 1/p daher zwangslaeufig schneiden. Bestenfalls im Unendlichen. Da beide Funktionen dort gegen Null streben scheint dies plausibel. Aber wie zeigt man dies ?
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Hallo Richy,
leider verstehe ich deine Formulierungen nicht immer. Einmal schreibst du (p-1)/(p-2) und dann
wieder (x-1)/(x-2). Die Variable x steht für reelle Zahlen und p steht für Primzahlen. Ist das überall von dir konsequent eingehalten?
Für alle reelle Zahlen x soll gelten:
(1) exp(1/x) = (x-1)/(x-2) (mit 3 ≤ x ≤ unendlich)
Setze y=1/x ? x=1/y; dann ergib sich:
(2) exp(y) = (1/y - 1)/(1/y - 2) (mit 0 < y ≤ 1/3)
(3) exp(y) = (1 - y)/(1 - 2y)
(4) ln[exp(y)] = ln[(1 - y)/(1 - 2y)]
(5) y = ln(1 - y) - ln(1 - 2y)
Für y → 0 strebt ln(1 - y) - ln(1 - 2y) gegen Null, die Gleichung (5) ist also erfüllt.
Wegen y → 0 und x=1/y strebt exp(1/x) gegen 1 für x → unendlich. Somit muss wegen (1) auch (x-1)/(x-2) gegen 1 streben für x → unendlich.
Das heißt, beide Terme in der Gleichung (1) "treffen" sich im Unendlichen bei dem Wert 1. Vermutlich in asymptotischer Annäherung. Wenn tatsächlich asymptotische Annäherung vorliegt, dann gibt es vorher keinen Schnittpunkt, dann gilt die Ungleichung:
(6) exp(1/x) < (x-1)/(x-2); für alle reellen x im Wertebereich 3 ≤ x < unendlich
Nehmen wir mal an, dass dies so ist (die asymptotische Annäherung können wir vielleicht später noch beweisen, falls dein Argument mit den Steigungen nicht hinreichend sein sollte). Mit dem Hilfsmittel (6) möchtest du etwas beweisen. Was war das genau?
Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof