Dass sich g(x)=exp(1/x) und f(x)=(x-1)/(x-2) im Intervall [3...oo] nur im Unendlichen schneiden folgt wahscheinlich aus deren Ableitung |f´(x)|>|g´(x)| und aus dem
Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Anschaulich:
Voraussetzung : alle Ableitungen kleiner 0, beide Funktionen streng monoton fallend
Gilt f(x0)>g(x0) so koennen sich die Funktionen fuer x>xo nur schneiden wenn gilt |f´(x)|>|g´(x)|
xs sei dieser Schnittpukt
Entweder ist dies eine Tangente oder es gilt nun g(x>xs)>f(x>xs)
Damit sich die Funktionen ein zweites Mal schneiden muesste gelten |g´(x)|>|f´(x)| (oder f´(x)>0)
Dieser Fall liegt aber nicht vor :
Kuerzer formuliert :
Wenn im betrachteten Intervall die Funkrion f(x)=(x-1)/(x-2) kleiner waere als g(x)=exp(1/x) dann muesste es auch eine Stelle geben an der der Betrag deren Ableitung kleiner ist als der von g(x), da sich beide Funktionen im Unendlichen schneiden. Das ist aber nicht der Fall und daher muss f(x) stets groesser als g(x) sein.