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Plauderecke Alles, was garantiert nichts mit Physik zu tun hat. Seid nett zueinander! |
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#1
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Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Hallo richy,
könntest Du mir einmal ein wenig unter die Arme greifen? Das hier z.B. ist doch richtig, oder?: i * (-i) = 1 Kannst Du mir etwas zu (i)^0,5 erzählen? (Also am Besten erst einmal alle "ganz einfachen" Gesetzmäßigkeiten von i ... und insbesondere gerne alles bei dem i "irgendwie mit Pi zusammenhängt" ...) Danke! P.S.: Mich würde dann später voraussichtlich vorrangig das Rechnen in der Polarform interessieren - Da muß ich mich aber erst noch ein wenig einlesen. P.P.S.: Und natürlich ist auch die Hilfe von jedermann anderem gerne willkommen! Ge?ndert von SCR (08.06.11 um 10:02 Uhr) |
#2
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Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Das ist korrekt.
Zitat:
i ist definiert als i*i=-1. Es erweitert den "Raum" der reellen Zahlen. Du kannst dir das wie ein Koordinatenkreuz vorstellen, wo auf der x-Achse die reellen Zahlen aufgetragen sind, und auf der y-Achse die imaginären Zahlen. Die Zahl i hat in diesem Koordinatenkreuz den Punkt bei x=0 und y=1. Die (komplexe) Zahl 1 + i entspricht in dem Koordinatenkreuz dem Punkt x=1 und y=1, die Zahl 3 + 2i dem Punkt x=3 und y=2, usw. Du kannst jede komplexe Zahl aus einem reellen Anteil und einen imaginären Anteil zusammensetzen. Der x-Wert im Koordinatenkreuz steht für den reellen der y-Wert für den imaginären Anteil. Man spricht hier übrigens auch von der sogenannten komplexen Zahlenebene. Anstatt den x- und y-Wert in Zahlen auszudrücken, kannst du das auch mit einem Winkel - sagen wir "phi" - und einem Radius r tun. Anschaulich wird das erst, wenn du dir das aufzeichnest. Du nimmst eine beliebige komplexe Zahl, z.B. 2 + 2i, und zeichnest sie in der komplexen Zahlenebene als Punkt bei x=2 und y=2. Nun ziehe eine Linie zwischen dem Koordinatenursprung (x=0,y=0) und diesem Punkt (x=2,y=2). phi ist nun definiert als der Winkel zwischen der x-Achse und dieser Linie, gemessen gegen den Uhrzeigersinn. In unserem Fall also 45° oder Pi/4 in Radiant. Mit Hilfe der Winkelfunktionen sin und cos kannst dies nun wie folgt ausdrücken: x + y*i = r*cos(phi) + r*sin(phi)*i wobei r = -/(x² + y²) (das soll ne Worzel sein vor der Klammer ) r ist somit der Abstand vom Koordinatenursprung bis zu deinem Punkt (2,2). Für die Winkelfunktionen gilt ja sin(phi)=y/r und cos(phi)=x/r. Das umgeformt ergibt x=r*cos(phi) bzw. y=r*sin(phi). Wenn du cos(x) + i*sin(x) in einer Taylorreihe entwickelst, siehst du, dass die entstehende Reihe dieselbe Reihe ist die man erhält, wenn man die Exponentialfunktion e^(i*x) entwickelt. Das heißt es gilt allgemein: cos(x) + i*sin(x) = e^(i*x) Daraus folgt: r*cos(phi) + r*sin(phi)*i = r*e^(i*phi) Womit die sogenannte Polarform einer komplexen Zahl entwickelt ist. Für unser Bespiel gilt: 2 + 2i = -/(8)e^(i*Pi/4) Damit kann man leicht i^0,5 berechnen. In Polarform schreibt sich i als i = 1*e^(i*Pi/2) weil der Winkel zwischen der x-Achse und i (x=0,y=1) 90°, sprich Pi/2 entspricht. Dann gilt weiters: i^0,5 = [e^(i*Pi/2)]^0,5 = e^(i*Pi/2*0,5) = e^(i*Pi/4) = cos(Pi/4) + i*sin(Pi/4) = 0,707... + i*0,707... und das wars.
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"Gott würfelt nicht!" Einstein Ge?ndert von Bauhof (08.06.11 um 12:40 Uhr) Grund: Nur Titel geändert. |
#3
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Als Hilfe zum Verständnis ist folgender Beitrag sehr dienlich:
http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Relation oder http://de.wikipedia.org/wiki/Komplex...xe_Zahlenebene
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"Gott würfelt nicht!" Einstein |
#4
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Hallo Benjamin,
herzlichen Dank - Das geht genau in die richtige Richtung und gefällt mir schon einmal super! z.B. Zitat:
Zitat:
Ein paar Sachen von Dir werde ich mir wohl auf jeden Fall erst noch etwas näher zu Gemüte führen müssen ... Für mich hartes Brot eben. (Ich schaue mir z.B. gerade einmal in Verbindung mit Deinem Beitrag dieses Filmchen hier an: http://www.youtube.com/watch?v=FwuPXchH2rA) Danke! Ge?ndert von SCR (08.06.11 um 13:57 Uhr) |
#5
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Bei einen Minkowski-Diagramm ist entscheidend, dass auf der y-Achse ct aufgetragen wird. Das soll aber nicht verwundern, weil der Minkowski-Raum ein vierdimensionaler Vektorraum ist mit 3 räumlichen Dimensionen und einer "zeitlichen", oder genauer: dem Produkt von Zeit und Lichtgeschwindigkeit.
Auch der Raum der komplexen Zahlen kann als Vektorraum aufgefasst werden. In älterer, um nicht zu sagen alter, Literatur hat die y-Achse im Minkowski-Raum einen imaginären Charakter i*ct. Heute bevorzugt man aber die kontra- und kovariante Darstellung, womit auf die imaginägre Achse verzichtet werden kann.
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"Gott würfelt nicht!" Einstein |
#6
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Ich kann Benjamins Ausfuehrung wenig hinzufuegen. Eine Herleitung der Wurzel(i) ohne Polarform faellt mir ebenfalls nicht ein. Zunaecht solltest du dir Konventionen in der Gausschen Ebene merken :
Die komplexe Zahl z wird somit durch ihren Radius=Betrag und Winkel=Argument in der Gausschen Ebene dargestellt. Der Winkel wird bezueglich der Realteil-Achse gemessen und mathematisch wie immer gegen den Uhrzeigersinn. Am besten merkt man sich auswendig : ******************************** phi=arg(z)=arctan(Imaginaerteil/Realteil) (Auf Quadranten achten !) |z|=Wurzel(Realteil^2 + Imaginaerteil^2) ******************************** Vorsicht ! Beim arctan(Imaginaerteil/Realteil) ist die Bedeutung der Vorzeichen nicht mehr eindeutig. (Daher arg(Im,Re)) Den Quadranten von Phi muss man somit extra bestimmen. Jetzt merkt man sich noch die erste schwarze Taste eines Klaviers CiS und kann damit eine komplexe Zahl nach Benjamins CiS Gleichung wieder als Relateil und Imaginaerteil darstellen : Zitat:
Wie zieht man nun aber die Wurzel aus i ? Ueber (exp(a))^b=exp(a*b) i^(1/2)=exp(i*Pi/2)^(1/2)=exp(i*Pi/4) Genau, das wars schon. **************************** ZUSATZ : Allgemeiner : Wie loest man die Gleichung z^2=i. Die Gleichung hat zwei Loesungen, Wurzeln. Folgendes soll die Mehrdeutigkeit im Komplexen zeigen. Man wendet den selben Trick an wie bei da^x/dx. ebbes=exp(ln(ebbes)) Damit kann man ueber den ln() die Potenz beseitigen. Somit : i^(1/2)=exp(ln(i^1/2))=exp(1/2*ln(i))=exp(0.5*ln(i)) Naja, jetzt haben wir das Probem darauf abgewaelzt den ln() aus einer komplexwertigen Zahl zu ziehen. Aber fuer w=ln(z) gibt es eine "Loesungsformel" : i^(1/2)=exp(0.5*(ln|i|+i*(arg(i) + 2*k*Pi) ) k=0,1 ln|i|=ln(1)=0 arg(i)=Pi/2 i^(1/2)=exp(0.5*(i*(Pi/2 + 2*k*Pi) ) k=0,1 ********************************* Auch damit sieht man sehr schoen, wie denn die Teilung des Winkels von Pi/2 nach Pi/4 zustande kommt. k=0 (Hauptwert) i^(1/2)=exp(0.5*(i*Pi/2))=exp(i*Pi/4) ... mit CiS = Wurzel(2)/2*(1+i) k=1 i^(1/2)=... exp(i*Pi/4+i*Pi) ... CiS = -Wurzel(2)/2*(1+i) Aha. Bei der zweiten Losung wird der Zeiger um Pi weitergedreht. Waere die erste Losung nicht komplex, dann entspraeche dies einem negativen Vorzeichen. Negative Zahlen sind somit ein Spezialfall imaginaerer Zahlen. Im Thread Phas-O-Mat hatte ich z^16=1 schon mal graphisch dargestellt : Schwarz=Wurzel(i). Man sieht wie der Winkel phi=Pi/2 zu Pi/4 halbiert wird : http://home.arcor.de/richardon/richy...omat/phaso.htm Gruesse Ge?ndert von richy (08.06.11 um 15:49 Uhr) |
#7
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Ja Sch***eibenkleister - Ich sehe schon: Das wird ja wieder ein Heidenspaß für mich werden!
Danke auch Dir richy: Da sieht nämlich ("mit meiner verschmierten Brille" betrachtet ) auf den ersten Blick doch schon so einiges äußerst interessant/vielversprechend aus. Noch dazu gibt's Worzeln, Klaviere ... Was will man denn mehr: Das wird bestimmt noch lustig. Aber lasst mich bitte erst einmal Euren ersten Input verdauen - Ich melde mich dann wieder wenn ich soweit bin (bzw. doch schon zwischendrin Fragen auftauchen sollten) Danke erst einmal bis dahin! P.S.: @Benjamin: Deiner Signatur kann ich nur voll und ganz zustimmen! |
#8
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Zitat:
Gesucht sei die komplex Zahl z, die erfüllt: (0) z = sqrt(i) also ist Erfüllung der quadrierten Gleichung notwendige Bedingung: (1) z*z = i Nun stellen wir die unbekannte komplexe Zahl z durch ihren Realteil x und ihren Imaginärteil y dar: z = x + i*y und setzen in (1) ein: (2) x^2 - y^2 + 2*i*x*y = i Zerlegung dieser Gl. in 2 Gleichungen für Real und Imaginärteil: (2a) Realteil: x^2 - y^2 = 0 (Realteil von i ist ja 0) (2b) Imaginärteil: 2*x*y = 1 (Imaginärteil von i ist 1) Das sind 2 Gleichungen für die 2 reellen unbekannten x und y. Eine der Lösungen ist die von richy und benjamin angegebene. Eine 2. erhält man, da man bei Auflösung von (2a) vor Einsetzen in (2b) auch die negative Wurzel ziehen kann. eine Lösung: x = 1/sqrt(2), y = 1/sqrt(2) also z = 1/sqrt(2) + i/sqrt(2) Bei den weiteren Lösungen mass man a bisserl aufpassen, nur die mitzunehmen, die auch Gl. (0) erfüllen. Durch das Quadrieren von Gl. (0) ist Gl. (1) nicht mehr äquivalent zu Gl. (0), sondern enthält weitere Lösungen, nämlich auch die für z = -sqrt(i). Das ist übrigens reine Mathematik und hat nichts mit dem 4-dimensionalen pseudoeuklidischen Minkowskiraum zu tun. Ge?ndert von Hawkwind (20.06.11 um 12:11 Uhr) |
#9
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Hallo zusammen,
die Fragestellung lautete: Lösung von sqrt(-2*i) MEINE "Lösung" (auch wenn sie den mathematischen Anforderungen hier womöglich nicht genügen sollte): i*i=-1 Wir nehmen für/statt i einmal x=+1 und einmal x=-1 an: sqrt(-2*x) mit ... 1.) x=+1: sqrt(-2*x) = sqrt(-2) Lösung 1: 1.1.) -1,414... * +1,414... = -2 1.2.) +1,414... * -1,414... = -2 2.) x=-1: sqrt(-2*x) = sqrt(+2) Lösung 2: 2.1.) +1,414... * +1,414... = +2 2.2.) -1,414... * -1,414... = +2 Feststellung: Die beiden Vorzeichen treten bei der in dieser Form durchgeführten vollständigen Enumeration in exakt gleicher Häufigkeit auf, keine der obigen Lösungen ist dabei in irgendeiner Art und Weise ausgezeichnet. -> Die Lösung von sqrt(-2*i) ist die Zahl 1,414... mit gleichberechtigtem Vorzeichen Plus und Minus (bzw. alternativ "mit uneindeutigem Vorzeichen"). Alles andere ist zwar in meinen Augen denkbar - Wäre dann aber "eine erzwungene Lösung" bzw. "als willkürliche Festlegung" zu betrachten (-> 'deutsche', 'internationale', ... 'Auslegung'?). IMHO. Zitat:
Unabhängig von "meiner Lösung" - Ich hätte eine Frage an Dich, richy: Wie habe ich Deiner Einschätzung nach (vor dem Hintergrund des aktuellen Sachstands) folgende Aussagen Einsteins zu beurteilen? Zitat:
Zitat:
Zitat:
Ge?ndert von SCR (20.06.11 um 13:11 Uhr) |
#10
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AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen
Hi Hawkwind
Zitat:
Wiki deutsch oder Restwiki Zitat:
Nur eine dieser beiden Loesungen kann richtig sein ! Weil ein eindeutiger Hauptwert festgelegt werden muss. Es steht nicht frei einen solchen offen zu lassen. Er muss festgelegt werden. Das habe ich gerade auch in der Wiki Diskussion angefuehrt : Zitat:
Die Sachlage ist ganz klar. Es muss ein Hauptwert, ein arg(z), ein csgn(z), fuer eine komplexe Wurzel festgelegt werden. Man kann dies verschieden ausdruecken und es ist eine reine Konvention, die aber zwingend durchgefuehrt werden muss. Neu Gedanken in deiner Form helfen hier wahrscheinlich wenig weiter. Ok man koennte sich danach richten welche Vereinbarung im physikalischen Bereicht oefters sinnvolle Aussagen ergibt. Es bleibt dennoch eine reine Definitionsangelegenheit und die kannst weder du noch ich fuer alle Mathematiker vereinbaren. Wobei die Vereinbarung laengst getroffen ist. Denn MAPLE stellt wie der Bronstein einen Standard dar. WIKI dagegen nicht. Und damit ist folgendes per Definition falsch : a) Wurzel(1)=-1 b) (H) Wurzel(-2*i)=-1+1 c) Wurzel(-2+i)=1-i, denn richtig waere [1-i,-1+i] Und hier zeigt sich das Dilemma, denn a und b widersprechen sich weil das Wurzelsymbol im Komplexen so verwendet wird, dass es schizophren ist Zu "Per Definition" : Wenn mit dem Zeichen ">" eine spezielle logische Aussgae definiert ist, dann ist die Aussage 1>3 falsch. Nun kann ich festlegen, dass dieses Symbol bedeutet, 1 kleiner 3. Man koennte ueber jede mathematische Arbeit zunaechst schreiben, dass man das Groesser und Kleinerzeichen vertauscht definiert. Waere das sinnvoll ? Gruesse Ge?ndert von richy (20.06.11 um 16:36 Uhr) |
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