Fragen zur SGL

[richy]

Hi
Viele Dinge bezueglich der Schroedingergleichung sind mir immer noch nicht klar.
Ich moechte den Thread mit einer ganz einfachen Frage starten, die eher dazu dienen soll Missverstaendnisse zu vermeiden. Ich meine die Antwort zu kennen und dass man diese ohne Kenntnisse ueber partielle Differentialgleichungen einfach finden kann :

V(r,t) soll eine reelle Funktion sein.
Warum muessen Loesungen Psi(r,t) dieser Gleichung (der SGL) komplexwertig sein ?
Warum koennen sie weder reell noch rein imaginaer sein ?
B.z.w welche Bedingungen muessten gegeben sein, dass dies moeglich waere ?
Gruesse

[Hawkwind]

Zitat von richy

Hi

V(r,t) soll eine reelle Funktion sein.
Warum muessen Loesungen Psi(r,t) dieser Gleichung (der SGL) komplexwertig sein ?

Ich war mir zu Anfang, als ich deine Frage gelesen hatte, nicht sicher, ob sie komplex sein müssen - ich dachte, sie sind es halt im allgemeinen Fall.
Aber nach ein wenig Nachdenken komme ich zu dem Schluss, dass es rein reelle Lösungen nicht geben kann: mit Psi und V reell ist die rechte Seite der SGL reell (die Ableitung einer reellen Funktion nach einer Koordinate ist ebenfalls reell). Wenn Psi reell ist, muss aber die linke Seite rein imaginär sein, weil die Ableitung einer reellen Funktion multipliziert mit i rein imaginär ist, d.h. für reelle Psi stände auf der rechten Seite ein reeller Term und auf der linken ein imaginärer: das Gleichheitszeichen ist nicht zu erfüllen.

Einige Lösungen der zeitunabhängigen SGL liefern aber rein reelle Wellenfunktionen. Wenn das V nur von den Koordinaten und nicht von der Zeit abhängt, dann kannst du einen Separationsansatz für die Lösung der zeitabhängigen SGL machen (nur eine Raumdim. x, geht für 3 aber genauso)

PSI(x,t) = exp(-i*w*t) * Psi(x)

damit gehst du in die SGL und du erhältst

Psi(x) * hquer*w* exp((-i*w*t)
= -(hquer^2/(2*m) *Psi''(x) * exp((-i*w*t) + V(r)*Psi(x) * exp((-i*w*t)

Das kann für beliebige t nur dann erfüllt sein, wenn (Exponentialfaktor "herausgekürzt")

hquer*w * Psi(x) = -(hquer^2/(2*m) *Psi''(x) + V(r)*Psi(x)

das ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gl. und wir identifizieren
hquer*w
wie üblich als Energie (w="omega" (Kreisfrequenz)).



Diese zeitunabhängige SGL hat z.B. für das didaktisch sehr interessante Kastenpotenzial rein reelle Lösungen. Jedoch ist die komplette Lösung der zeizabhängigen SGL selbst dann das Produkt aus

exp(-i*w*t)

und dem rein reellen ortsabhängigen Anteil der Lösung - also doch wieder komplexwertig.

Lösung der zeitunabhängigen SGL für eine räumliche Dimension x im Kastenpotenzial ist z.B. hier
http://sandphysik.de/quant15.pdf
beschrieben. Die Diskussion - dieses noch simplen - ist übrigens sehr zu empfehlen; sie demonstriert bereits, wie es zu einigen typischen "Quanteneffekten" kommt (diskrete Energieniveaus, Tunneleffekt, ...).

Gruß,
Hawkwind

[richy]

Hallo Hawkwind

Ich habe die selben Argumente wie du verwendet um zu folgern, dass die Loesung der SGL tatsaechlich nur komplexwertige Loesungen zulaesst. Tatsaechlich=nicht nur aufgrund rechentechnischer komplexwertiger Exponentialansaetze.
Lediglich der Ansatz 0=0 wuerde auf zusaetzliche Bedingungen fuer reelle Loesungen fuehren die wohl weniger Sinn machen. (PSI = zeitlich konstant).

Man koennte salopp auch ausdruecken "PSI ist komplexwertig Weil i auf der linken Seite der Gleichung steht"
Und das bereitet mir am meisten Kopfzerbrechen.
Meine Fragen
- Wie kam Herr Schroedinger zu dieser Gleichung ?
Kann man dies kurz auch unter historischen Aspekten skizzieren ? (oder ein guter Link)

aber ganz besonders :
Wie kam Schroedinger auf die Idee, Loesung, dass auf der linken Seite die imaginaere Einheit stehen muss ?

Mein Gedanke waere, dass er hier ein Modell aehnlich der komplexen Wechselstromrechnung verwendet hat.
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplex...lstromrechnung
Auch hier kennt man komplexwertige Ausdruecke wie zum Beispiele : u=(R+jwL)*i und rechnet zur Vereinfachung dann mit komplexen Exponentialfunktionen.
Diese Methode ist nichts weiter als eine vereinfachte Anwendung der Fouriertransformation !
Man betrachtet das System im Bildbereich, so dass man z.B. die Korrospondenz d/dt 0-0 jw (z.B. bei der Spule) verwendet.
Ebenso nuetzt man aus, dass der Sinus und Kosinus im Bildbereich Diracimpulsen entspricht, so dass man das ganze System schliesslich bequem beschreiben kann.

Es gibt aber bei der SGL einen entscheidenden Unterschied zur komplexen Wechselstromrechnung. In der SGL treten Ableitungen ueber x und t auf. Wenn die Einheit i aus einer Integral (Fourier) Transformation resultiert, wie bei der komplexen Wechselstromrechung, dann kann diese Transformation, Integration nicht den Wellenzahl oder Frequenzbereich betreffen, denn dann waeren die Differentiale durch jw oder jk ersetzt.In der Wechselstromrechnung treten dementsprechend keine Differentiale mehr auf.

Dass schliesslich das Betragsquadrat einer interpretierbaren Messgroesse entspricht weist ebenfalls darauf hin, dass die SGL eine Betrachtung in einem integraltrasformierten Bildbereich darstellt. (Vergleich : Betragsquadrat beim Frequenzgang) Blos was sollte das fuer ein Bildbereich sein ?
Mich wundert dabei auch folgendes :
Anscheinend verwendet man "das j" auf der linken Seite in selber Weise wie das j zum Beispiel im Ansatz : Psi(x,t)=exp(-j*w*t)*f(x).
Setzen wir das mal in die linke Seite der SGL ein :
i*h_q*d (exp(-j*w*t)*f(x))/ dt = -i*j*w*exp(-j*w*t)*f(x)
Jetzt wird man -j*i zusammenfasst zu 1 und das wird man wohl so handhaben oder ?, dann hat sich das eventuelle Mysterium der tatsaechlichen Komplexwertigkeit der SGL gelichtet.
i*d/dt stellt einen speziellen Differenzierer dar mit einer speziellen Phaseneigenschaft. i dreht dessen Phase nochmals um Pi/2.In der E Technik waere i ein Allpass oder Hilberttransformator.

Zitat von Hawkwind

Einige Lösungen der zeitunabhängigen SGL liefern aber rein reelle Wellenfunktionen.

Das ist gemaess unserer Vorueberlegung doch gar nicht moeglich.
Ah du praezessierts nachher. Man muss die Loesung mit exp(-i*w*t) multiplizieren.
Psi(x,t)=exp(-i*w*t)*f(x).
Man muss mit der Angabe "komplexwertig" somit sehr vorsichtig umgehen.
Auch ohne ein Kastenpotential genau zu betrachten wuerde ich folgern :
Wenn der Faktor f(x) rein reell ist, dann kann x unmoeglich in die Phase w*t des linken Exponentialausdruckes eingehen. Und dann ist das wohl eine stehende Welle oder ?

Erstmal vielen Dank fuer deine Rechenbeispiele.
Fuer den Seperationsansatz ist es zunaechst nicht notwendig komplexe Exponentialfunktionen zu verwenden. Diese erweisen sich wie in der komplexen Wechselstromrechnung lediglich als besonders praktische Rechengroessen. Hierzu nochmals einige Fragen :

Der komplexe Exponentialansatz erlaubt nur die Beschreibung eingeschwungener, linearer Systeme. (Cos+ISin, CIS, sind periodische Funktionen)
Wie ist dies bei der SGL zu beruecksichtigen ?
Die Bewegung eines Teilchens waere ein transienter Vorgang, den man mit diesem Ansatz nicht beschreiben kann. Aber man betrachtet kein Teilchen sondern dessen PSI- Wahrscheinlichkeitswelle .... Aaaarg es ist verrueckt
Ab wann ist denn diese Wahrscheinlichkeitswelle existet, so dass ich einen eingeschwungenen Vorgang annehmen darf ? Ab dem Moment in dem ich den Versuch aufbaue ? Ich meine klingt laecherlich, aber dann muesste man den Versuchsaufbau wie einen Hefeteig erstmal ruhen lassen, damit sich die Wahrscheinlichkeiten einschwingen ? (Nicht ganz ernst gemeint )
Wann beginnt der Prozess des Einschwingens ? Wenn z.B. eine "Elektronenwelle" erzeugt ist ?

Zitat von Hawkind

PSI(x,t) = exp(-i*w*t) * Psi(x)

Ok jetzt verstehe ich die Vorgehensweise besser. Das waere ein spezieller Seperationsansatz (In der E Technik sagt man auch Produktansatz)
Stimmst du mir zu , dass die Funktion exp(-i*w*t) zunaechst lediglich eine willkuerliche Annahme ist, die sich spaeter als praktisch erweisen wird ? Eher eine Ratemethode.
Und ebenso, dass man nur aufgrund der Rechnung mit komplexen Exponentialfunktionen keinesfalls annahmen kann, dass PSI tatsaechlich komplewertig ist. Dass Psi tatsaechlich komplexwertig ist hatten wir bereits festgestellt, aber das i auf der linken Seiten geht in den komplexen Ansatz mit ein, so dass die anfangs noch erkennbare Bedeutung (Psi ist tatsaechlich in der Realitaet komplexwertig) verloren geht.

Beispiel.
U(jw)=jwL*I(jw)
komplexweriger Ansatz : I(jw)=I0*exp(jwt)
Sind jetzt Spannung und Strom ploetzlich unphysikalische Groessen weil ich sie als komplexwertig angenommen habe ? Nein.

Man muss beides also trennen. Das i auf der linken Seite und den komplexwertigen Exponentialansatz. Fuehre ich den Exponentialansatz durch kann ich anhand von Ergebnissen daraus ueberhaupt nicht mehr mit der Komplexwertigkeit argumentieren. Die habe ich ja selbst kuenstlich eingebaut. Wir haben bereits festgestellt, dass das Argument mit der Phase schon Gewicht hat. Mit der Komplexwertigkeit hat dieses aber meiner Meinung nach nur wenig zu tun.
(Ich hab natuerlich noch mehr Fragen)
Gruesse

[Hawkwind]

Zitat von richy

aber ganz besonders :
Wie kam Schroedinger auf die Idee, Loesung, dass auf der linken Seite die imaginaere Einheit stehen muss ?

Gruesse

Richy, ich kenne mich in der Historie der Physik leider nicht allzu gut aus.

Aber die imaginäre Einheit auf der linken Seite ist zwingend, wenn du eine Wellengleichung haben willst. Das hängt damit zusammen, dass die Ableitung nach der Zeit nur von 1. Ordnung ist.
Die Ableitungen nach den räumlichen Koordinaten sind ja von 2. Ordnung; diese Asymmetrie hängt damit zusammen, dass die SGL nichtrelativistisch ist.

In einer Dimension x kann man die SGL auch schreiben als:

(-hquer/i) d/dt Psi = 1/(2*m) {(-hquer/i) d/dx}^2 Psi + V * Psi

Das wurde wohl "nahegelegt" durch die klassische Energie-Impuls-Beziehung:

E = p^2/(2*m) + V

Dabei wurden die Observablen p und E durch Operatoren ersetzt

p -> (hquer/i) d/dx
E -> (-hquer/i) d/dt

die nun auf die Wellenfunktion Psi wirken.
Das lineare Auftreten von E in der nichtrelativistischen klassischen Mechanik in der Energie-Impuls-Beziehung ist also letztlich dafür verantwortlich, dass da explizit ein Faktor i auf der linken Seite steht.

Mit der ersten Ordnung in der Ableitung nach t und ohne explizite imaginäre Einheit hätten wir keine Wellen, keine zeitlich oszillierenden Lösungen.
exp(i*w*t)
Denk an den Separationsansatz aus meinem letzten Posting. Ohne i auf der linken Seite der SGL könnte die zeitliche Abhängigkeit nicht als
exp(i*w*t)
herausfaktorisiert werden. Man bräuchte eher etwas wie
exp(w*t)
also zeitlich exponentiell wachsende oder gedämpftes Verhalten. Das wären keine Wellen.

[Bauhof]

Zitat von richy

Wie kam Herr Schroedinger zu dieser Gleichung ?

Hallo richy,

ich las folgendes (nach meiner Erinnerung):

Schödinger hat seine Geichung frei erfunden. Er hat sie also nicht aus irgendwelchen bekannten physikalischen Prizipien hergeleitet. Der Erfolg gab ihm recht. Falls das interssant für dich ist, suche ich nach der Quelle.

Außerdem hat Schrödinger die Äquivalenz seiner Gleichung mit der Matrizen-Mechanik (von Heisenberg und Jordan) bewiesen.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Benjamin]

Zitat von Bauhof

Schödinger hat seine Geichung frei erfunden. Er hat sie also nicht aus irgendwelchen bekannten physikalischen Prizipien hergeleitet. Der Erfolg gab ihm recht. Falls das interssant für dich ist, suche ich nach der Quelle.

Ja, Feynman hat einmal geschrieben: "It came directly out of his mind."
Aber das stimmt nicht. Man erfindet nicht einfach eine Gleichung, die dann zufällig passt. Schrödinger kam auf diesen Ansatz durch de Broglie, und dem Umstand, dass sich Elektronen wie Wellen verhalten. Ihm war also klar, dass es eine Wellenfunktion geben muss, die die Heisenberg'sche Matrizenmechanik erfüllt. Das waren seine Ansätze, der Rest ist nicht streng logisch ableitbar - soweit ich das sehe zumindest nicht.
Aber Newtons Axiome sind schließlich auch nicht logisch ableitbar.

[Hawkwind]

Zitat von richy

Wenn der Faktor f(x) rein reell ist, dann kann x unmoeglich in die Phase w*t des linken Exponentialausdruckes eingehen. Und dann ist das wohl eine stehende Welle oder ?

Nein keineswegs: eine ebene Welle z.B.
exp(i*(kx-wt)) = exp(ikx)*exp(-iwt)
kann ebenfalls so separiert werden.

Zitat von richy

Der komplexe Exponentialansatz erlaubt nur die Beschreibung eingeschwungener, linearer Systeme. (Cos+ISin, CIS, sind periodische Funktionen)
Wie ist dies bei der SGL zu beruecksichtigen ?
Die Bewegung eines Teilchens waere ein transienter Vorgang, den man mit diesem Ansatz nicht beschreiben kann. Aber man betrachtet kein Teilchen sondern dessen PSI- Wahrscheinlichkeitswelle .... Aaaarg es ist verrueckt
Ab wann ist denn diese Wahrscheinlichkeitswelle existet, so dass ich einen eingeschwungenen Vorgang annehmen darf ?

Eine gedämpfte Wahrscheinlichkeitswelle wäre eine solche, bei der die Wahrscheinlichkeit (z.B. ein Teilchen irgendwo bei einer Messung vorzufinden) mit der Zeit sinkt. Solche Anteile machen Sinn für Systeme, in denen die Wahrscheinlichkeit nicht erhalten ist (Zerfallsprozesse ez.B.). Aber das ist ein anderes Kapitel.

Zitat von richy

Ok jetzt verstehe ich die Vorgehensweise besser. Das waere ein spezieller Seperationsansatz (In der E Technik sagt man auch Produktansatz)
Stimmst du mir zu , dass die Funktion exp(-i*w*t) zunaechst lediglich eine willkuerliche Annahme ist, die sich spaeter als praktisch erweisen wird ? Eher eine Ratemethode.

Motiviert war der exp(-iwt) - Faktor sicher durch deBrolies Materiewellen. Bei Wellen wird nun einmal oszilliert.

Woanders schreibst du

Zitat von richy

Ja, alleine dass PSI(r,t) eine komplexwertige Funktion sein muss (nicht aufgrund eines exp(a+i*b) Ansatzes) zeigt, dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann.

Dem stimme ich immer noch nicht zu. Komplexwertigkeit alleine zeigt nicht, "dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann."
Denk z.B. an die Impedanz
http://de.wikipedia.org/wiki/Impedanz
Das ist eine komplexwertige Größe, deren Real- und Imaginäranteile physikalische Bedeutung haben (Ohmscher Widerstand und Induktivität).
Das Besondere bei der Wfkt. ist die "Unphysikalität" des Phasenfaktors.

[EMI]

Zitat von richy

Wie kam Herr Schroedinger zu dieser Gleichung ?

Hallo richy,

Schrödinger selbst soll mal gesagt haben: "Die habe ich erraten".
Erraten, nicht erfunden.

Gruß aus dem Urlaub.

EMI

[richy]

Hi EMI
Feynman meinte das auch,

Zitat von Feynman

„Woher haben wir diese Gleichung? Von nirgendwo. Es ist unmöglich, sie aus irgend etwas Bekanntem herzuleiten. Sie ist Schrödingers Kopf entsprungen.“

...aber dennoch kann er aus seinen Pfadintegralen die SGL herleiten.
Naja, wenn man weiss wie es geht ist es ein wenig anders :-)
http://mikomma.de/qph3htm/qph3a.htm

Interessanterweise tritt in der Klein Gordon Gleichung die imaginaere Einheit links nicht mehr auf :

Aber anscheinend ist |PSI|^2 dann auch nicht mehr als Wahrscheinlichkeit interpretierbar.
Ist beides miteinander verknuepft ?
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist bei Klein Gordon negativ. Macht doch nichts Wenn ich die Wahrscheinlichkeit ueber eine Information betrachte ln(1/pi) dann entspraeche dies einer imaginaeren Information. Also einer imaginaeren Zeit ?
Ich meine fast E.Rauschers Gleichung basiert auf der Klein Gordon Gleichung.
Wobei bei ihr i auf der linken Seite erhalten bleibt und die Zeit komplexwertig ist.t=t_re+j*t_im
Es gibt doch auch zwei Entropieformen. Global nimmt die Entropie stets zu.
Aber lokal kann die Entropie auch ueber selbstorganisierende Prozesse abnehmen.
Das koennte man genausogut ueber zwei Zeitdimensionen beschreiben.
Und die gewohnte Zeit t kann aufgrund der fehlenden Ankopplung an die globale Entropie vor der Messung soundso keine Rolle spielen. Die Dekohaerenz stellt dann einen Pfad in der komplexen t-Ebene dar der vom Imaginaerteil(t) zum Realteil(t) fuehrt.

Eine eine andere Auslegung :
Rauscher oder Penrose vermeiden das Mischen konjungierer Groessen in dem sie einen komplexwertigen Minkowskiraum annehmen (somit 8 Dimensional) der beides ueber seine komplexwertige Koordinaten trennt !
Das muesste auch mit der Hilberttransformation zusammenhaengen :
http://de.wikipedia.org/wiki/Hilbert-Transformation
Die linke Seite der SGL ist Hilberttransformiert, die rechte Seite nicht.Da ist etwas kausales mit etwas akausalem verknuepft. Das kann ja nicht gut gehen und ist nur in einem komplexwertigen Minkowskiraum beschreibbar.

Aber amtlich geht es anders weiter :
http://www.einsteins-erben.de/dirac.php?men=gen

Ein Wahrscheinlichkeitsdichten-Interpretation kommt also nicht in Betracht. Allzu schnell ließ man die Klein-Gordon-Gleichung deshalb einstauben. Bis man die Bedeutung von in der Ladungsdichte sah (Ladungsdichten > 0 bzw. < 0 machen dann einen Sinn). Dieses Ergebnis liegt daran, dass die Klein-Gordon-Gleichung in den zeitlichen Ableitungen von zweiter Ordnung ist. Man musste also eine relativistische quantenmechanische Gleichung finden, die von erster Ordnung in der Zeit ist. Nun kamen Diracs geniale Gedanken ins Spiel. Um eine positiv definite Dichte für eine relativistische, quantenmechanische Gleichung zu bekommen, benötigt man eine Differentialgleichung von erster Ordnung in der Zeitableitung.

Auch hier hat man wieder das imaginaere Vorzeichen.Aber auch bei der raeumlichen Ableitung.
(Das ist ein PDE-system nicht ?)
Schoenen Urlaub noch !
Gruesse

[richy]

Der Big Boss sieht alles. Dank Einseitenbandmodulation / SSB ?
Die ist energiesparend und er erschuf die Schwaben nach seinen Vorbild