|
Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben. |
|
Themen-Optionen | Ansicht |
#1
|
|||
|
|||
Zweite Quantisierung
Hallo,
ich möchte mein Physikforum wechseln, da auf Matroids Matheplanet das Physikforum verweist ist. Ich hoffe hier gibt es einige, die auch technische Fragen rund um die Quantenmechanik beantworten können. Ich beschäftige mich neben der Physik vor allem mit Logik und der Frage, ob die Grenzen der formalen Methodik, so wie sie in der Logik auftauchen, irgendeine Relevanz in der Physik haben. Aber zunächst meine konkrete Frage zur zweiten Quantisierung: In der Quantenfeldtheorie wird zu der Wellenfunktion eine konjugierte Wellenfunktion eingeführt, die eine Kommutatorrelation erfüllen, jenachdem, ob es Fermionen oder Bosonen sind. Die Wellenfunktion wird dabei zu einem Operator. Ein Operator muss immer auf irgendwas angewendet werden. Wenn ich das richtig verstanden habe, wird der Operator auf den Vakuumgrundzustand angewendet. Hierdurch kann ich, der richtigen Vertauschungsstatistik nach, eine Vielteilchen-Wellenfunktion aufbauen. Mein Problem ist: In QM1 geht man ebenfalls von einer Wellenfunktion aus, die sich gemäß der Schrödingergleichung entwickelt. Die Operatoren sind hier z.B. der Impuls- oder der Ortsoperator. Diese stellen die Observablen des Systems dar. Mir scheint, dass die zweite Quantisierung da doppelt gemoppelt ist, indem es sicher noch Observablen, dargestellt durch Operatoren, gibt, und die Feldoperatoren selbst? Die Wellenfunktion aus QM1 entwickelt sich "glatt", einer Kontinuumsgleichung folgend, und ist zu jeder Zeit vollständig definiert, bis man eine Messung durchführt. Ist das Quantenfeld (und sein konjugiertes Feld) ebenfalls zu jedem Zeitpunkt vollständig definiert? D.h., dass es an jedem Raumpunkt einen definierten Wert hat, bevor man eine Messung durchführt? Sind die Observablen der Quantenfeldtheorie die gleichen wie in der nicht-relativistischen Einteilchen-Theorie? Dies sind erstmal grundsätzliche Verständnisfragen, um mich in QM2 einzulesen. |
#2
|
|||
|
|||
AW: Zweite Quantisierung
Hallo Simon_St
Zitat:
Herzlich Willkommen im Forum.
__________________
Freundliche Grüße, B. |
#3
|
|||
|
|||
AW: Zweite Quantisierung
Danke Bernhard für die Antwort. Ich werde mal in das Buch schauen.
Ein paar Fragen könnte man vll direkt beantworten: In QM1 ist die Wellenfunktion zu jeder Zeit und an jedem Ort definiert. Einzig der Übergang bei einer Messung ist ein Sprung. Ohne jetzt auf die Interpretation des Messprozesses einzugehen möchte ich wissen wie man sich die (Vielteilchen-) Wellenfunktion in der Quantenfeldtheorie vorzustellen hat, solange das System unbeobachtet bleibt. In QM1 sind die Messoperatoren nicht vertauschbar. In der Quantenfeldtheorie sind schon die Feldoperatoren nicht vertauschbar (ohne dass eine Messung stattgefunden hat). Deshalb frage ich mich, ob die Vielteilchenwellenfunktion eine Funktion ist, die zu jeder Zeit und an jedem Ort definiert ist? |
#4
|
|||
|
|||
AW: Zweite Quantisierung
Zitat:
__________________
Freundliche Grüße, B. |
#5
|
|||
|
|||
AW: Zweite Quantisierung
Das hilft mir vom grundlegenden Verständnis erstmal leider nicht weiter. Ich hatte QM2 als Fach in meinem Physikstudium, habe es aber leider nicht durchdrungen.
Habe mir angeschaut, wie Vielteilchen-Wellenfunktionen aufgebaut werden, durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Hierbei kommt es auf die Vertauschung von zwei Teilchen an. Meine Frage ist, ob die Vielteilchenfunktion überall und zu jederzeit definiert ist. Da man ein konjugiertes Feld einführt. Vll hilft es sich erstmal vorzustellen, wie die Feldoperatoren auf den Vakuumzustand angewandt, den Zustandsraum der Teilchen konstruieren. Kann man dies auch mit den Operatoren des konjugierten Feldes machen? Spiegeln die Vertauschungsregeln des Feldes mit seinem konjugierten Feld lediglich die Vertauschungsregeln für Teilchen wieder? |
#6
|
|||
|
|||
AW: Zweite Quantisierung
Zitat:
Vielleicht helfen dir auch die Bargmann-Wigner-Gleichungen weiter. Aus den Lösungen dieser Gleichung(en) müsste man im Prinzip auch immer Vielteilchenwellenfunktionen konstruieren können. Siehe dazu auch: http://quanten.de/forum/showthread.php5?t=3287 . Wir hatte da eine ganz interessante Diskussion im Rahmen der QED.
__________________
Freundliche Grüße, B. |
#7
|
|||
|
|||
AW: Zweite Quantisierung
Zitat:
Für die von Bosonen gelten Vertauschungsrelationen, für Fermionen Anti-Vertauschung. Zitat:
Denke doch: der Nabla-Operator auf die Koordinaten des i-ten Teilchens angewandt, ist der Impuls-Operator dieses Teilchens etc.. |
#8
|
|||||||||||
|
|||||||||||
AW: Zweite Quantisierung
Zitat:
Das fällt aber nicht von Himmel sondern kann sauber konstruiert werden. Du solltest dich dazu mit dem Lagrange- und dem Hamiltonformalismus für klassische Teilchen sowie Felder vertraut machen. 1) Im Falle von Teilchen leitet man aus der Lagrangefunktion die zu den Orten x kanonisch konjugierten Impulse p ab und konstruiert die Hamiltonfunktion H[x,p]. Aus den Poissonklammern im klassischen Hamiltonformalismus folgend die Kommutatoren für x und p. Aus den hamiltonschen Bewegungsgleichungen folgt die Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Operatoren wirken auf Zustände im Hilbertraum (Speziell in der Ortsdarstellung wird der Impuls p mittels des Nabla-Operators dargestellt und wirkt auf die Wellenfunktion; das ist aber ein Spezialfall und für die Quantenfeldtheorie eher irrelevant). 2) Im Falle von Feldern leitet man aus der Lagrangedichte die zu den Feldern kanonisch konjugierten Impulse (ebenfalls Felder) p ab und konstruiert die Hamiltondichte. Aus den Poissonklammern im klassischen Hamiltonformalismus folgend die Kommutatoren. Aus den hamiltonschen Bewegungsgleichungen folgt die Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Operatoren wirken auf Zustände im Hilbertraum. Ich hoffe, die Analogie ist klar. Jedenfalls ist (2) nicht ein Schritt nach (1) sondern analog zu (1), weswegen "zweite Quantisierung" nicht zutreffend ist. Die Orte x spielen in der Feldtheorie die Rolle eines kontinuierlichen Index und sind keine dynamischen Variablen wir bei Punktteilchen. Der Impulsoperator ist ähnliche wie der Hamiltonoperator eine Größe, die die Feldoperatoren enthält. Zitat:
Zitat:
Man kann sowohl die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen für die Feldoperatoren als auch die Schrödingergleichung für Zustände (nicht für Wellenfuntkionen) vollständig identisch zur QM1 hinschreiben. Ja. Aber als Feldoperatoren. Nein, denn es ist ein Operator und hat gar keinen Wert. Die Eigenschaften des Systems stecken im Zustandsvektor, so wie in der QM1 auch. Nicht vergessen: die Wellenfunktion ist lediglich eine spezielle Projektion des Zustandes. Zitat:
Als Observablen gibt es zwar Energie, Impuls, Drehimpuls u.a., aber diese können nicht „lokalisiert“ werden; sie werden durch Operatoren dargestellt, in die wiederum die Feldoperatoren eingehen. Zitat:
Zitat:
Die Vielteilchen-Wellenfunktion gehört zur Quantenmechanik, nicht zur Quantenfeldtheorie. Sowohl Wellenfunktion als auch Zustandsvektor entwickeln sich mit Ausnahme der Messung immer kontinuierlich entsprechend der Schrödingergleichung bzw. des unitären Zeitentwicklungsoperators U(t) = exp[-iHt]. Zitat:
Zitat:
Zitat:
Betrachte den Vakuumzustand |0> sowie einen Einteilchen-Zustand |…k…>, bei dem genau eine Anregung mit dem Impuls k vorliegt. Dieser Einteilchen-Zustand kann mittels eines Erzeugungsoperators zu diesem Impuls k aus dem Vakuum konstruiert werden. Man kann jedoch beliebige N-Teilchen-Zustände konstruieren, wobei die Teilchenzahl N nicht beschränkt ist; im Falle von Bosonen kann man sogar für das selbe k beliebig viele Anregungen in diesen Zustand bringen. Eine N-Teilchen-Wellenfunktion existiert jedoch immer nur für ein festes N, nie für variables N. Zitat:
Einige Anmerkungen: Grundsätzlich musst du QM2 mit Vielteilchen-Wellenfunktionen sowie Quantenfeldtheorie auseinanderhalten. zu Bernhard: die Bargmann-Wigner-Gleichungen würde ich auslassen; ich denke nicht, dass du sie zum Grundverständnis benötigst. zu „sind die Observablen der Quantenfeldtheorie die gleichen wie in der nicht-relativistischen Einteilchen-Theorie“ und Zitat:
In der Quantenfeldtheorie haben wir einen Impulsoperator P[φ, π], der von den Feldern sowie deren konjugierten Impulsen π abhängt. Speziell im Falle der Klein-Gordon-Gleichung wäre π = ∂₀φ und P = ∫ d³x π ∇ φ Ausgedrückt durch Erzeuger und Vernichter bzw. dem Teilchenzahloperator N(k) je Impuls k findet man P = ∫ d³k k N(k) d.h. N(k) „zählt“ die Anzahl der Teilchen im „Zustand k“; anschließend wird über alle möglichen Impulse integriert.
__________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
#9
|
|||
|
|||
AW: Zweite Quantisierung
Zitat:
Hast aber dennoch recht - wie fast immer. Da habe ich was nachzulesen. Danke für die Richtigstellung. |
Lesezeichen |
|
|