Fragen zur SGL

[richy]

Hi Hawkwind
TEIL 1

jedoch ist zu beachten, dass aus der Linearität der SGL ein Superpositionsprinzip folgt:
wenn Psi(x) eine Lösung ist und Phi(x) eine andere, dann ist auch
a*Psi + b*Phi eine Lösung.

Daher finde ich es auch etwas unbefriedigend stets nur mit dem Exponentialansatz und speziellen Loesungen zu hantieren.
Zudem hab ich bei der SGL gewisse mathematische Zusammenhaenge noch nicht richtig verstanden. D.h. momentan stehe ich geradezu auf dem Schlauch.
Wenn ich bei Googel "Allgemeine Loesung der Schroedingergleichung" eintippe erhalte ich zum Beispiel fuer ein freies Teichen ohne Potential :
http://www-public.rz.uni-duesseldorf...gemeineLsg.htm

Allgemeine Lösungen lassen sich durch folgende Linearkombination darstellen:

deren Koffizienten A und B für jedes Problem bestimmt werden müssen.

Kritik an der Sprache im Link :
Mehrere allgemeine Loesungen ? Eine PDE beschreibt ein eindeutiges Prinzip !
Fuer jedes Problem ? Es wurde doch das Problem eines freien Teilchens betrachtet.

Kannst du deine Aussage und die aus dem Link mal fuer einen Elektrolurch und Musiker uebersetzen ?
Nehmen wir Steve_Lukather (Gitarrero von TOTO) den wir als Schallquelle betrachten und irgendeinen sehr kurzen Ton von sich gibt. ton(t,x=x_quelle) Wir betrachten den Vorgang nachdem Steve den kurzen Ton gespielt hat, der sich bereits im Raum ausgebreitet hat. Zusaetzlich nehmen wir an sein Ton breitet sich als ebene Welle aus (kein Bassgitarrist) und wir betrachten nur die Ausbreitungsrichtung ins Publikum (1d Welle). Den Zustand frieren wir ein.

Was sehen wir ?
Eine oertlich raumliche Schallwechseldruckfunktion p(x,t)
p(x,t) kann jede beliebige Funktion g(t,x) darstellen, denn Steve kann beliebiges spielen und sich sicher sein, dass die Wellengleichung der Akustik seine Klaenge bei guenstigen Randbedingungen zu den Ohren des Publikums transportiert. Das ist die einzigste Aussage der Wellengleichung. Sie transportiert lediglich (im entkopplungsfaehigen,ebenen Fall) Funktionen durch den Raum. Die Anfangswerte bestimmt die Quelle, Stevie, damit die Funktion g der eingefrorenen Situation g(t0,x).
Wie diese Information zu den Publikumsohren gelangt bestimmen die Randbedingungen, der Saal. Ueber Anfangswerte und Ranbedingungen liefert die Wellengleichung natuerlich keine Aussage. Die muessen wir selber bestimmen. Eine PDE beschreibt nur allgemeine Prinzipien.
Das halte ich fuer sehr wichtig.
So lautet die Loesung der Wellengleichung daher ganz allgemein :

Du schreibst :

wenn Psi(x) eine Lösung ist und Phi(x) eine andere, dann ist auch
a*Psi + b*Phi eine Lösung.

Dies beschreibt nach meinem Verstaendnis nichts anderes wie die oben angegebene allgemeine Loesung. Ueber den Umweg dass ich beliebige g(x+-ct) z.B. aus einer Fourierreihe approximieren kann ! Ich nehme einfach Summe(a_k*Psi(k,x,),k=0..oo). Approximiere g(t,x) ueber eine Fourierreihe. Mit den bekannten Einschraenkungen.

Ebene Wellen kann man aber als solche Linearkombinationen stehender Wellen darstellen. Tatsächlich sind ebene Wellen Lösungen der SGL, wenn V=0.

"Stehend" spielt sicherlich fuer die Wellenform keine Rolle. Aber schon klar.
Kurz. Es gilt in dem Fall die allgemeine Loesung einer Wellengleichung :

(Da fehlt uebrigends noch ein Integral)
Man kann diese ueber viele Methoden Herleiten. Charakteristiken, allgemeine Seperation, Einhuellende ...
Wenn man es kompliziert musikalisch mag kann man sich f(x,t) und g(x,t) (bei einer Kugelwelle f=g) natuerlich aus einer Fouriersumme zusammengesetzt vorstellen. Warum schreiben die Quantenphysiker aber nicht einfach auch mal solch einen einfachen allemeinen Ausdruck an ? Der ist doch weitaus aussagekraeftiger als irgendwelche Superpositionsformulierungen.

Ok was mich jetzt interessieren wuerde. Was haben solche Elementarteilchen denn musikalisch konkret zu bieten ? Ich vermute mal wenig. (Sinus) Das sind lediglich harmonische Oszillatoren ?