Gravitation im Planeten

[Cyrus]

Hi

Jeder kennt die Formel für die Gravitationskraft F = (G*m*M)/r² . Uns wurde in der 11 o. 12 Klasse gesagt, sie funktioniert nicht im Planeten da sie dort gegen unendlich strebt. Da ich keine funktionstüchtige Formel gefunden hatte. Habe ich mir selber eine gemacht.


Die Formel.

Fr o. Fw = (G * m * M *(rw+r)*rr) / 2*r²*ra²

[E] = kg * m / s² = N = (m³ * kg^-1 * s^-2 * kg * kg * ( m + m) * m ) / (m² * m³ )

Ich wollte eine Formel zur Berechnung der Gravitationskraft, die außerhalb und innerhalb eines Planeten funktioniert. Die Formel muss alle gängigen Kriterien erfüllen und die dazukommenden auch. Im Planeten ist das nicht so ganz einfach, da es immer 2 Möglichkeiten gibt. Daher ist Sie so ausgelegt das man immer die Resultierende Kraft wie auch die Wirkende Kraft berechnen kann.
Nun kommt es drauf an ob man die Resultierende oder die Wirkende haben möchte.

Formelzeichen
Fr = Resultierende Kraft
Fw = Wirkende Kraft
o. = oder
G = Gravitationkonstante
m = Masse Bezugskörper
M = Masse Planet
r = Radius Planet
rw = innerer Bezugsradius zur Berechnung von Fw
ra = äußerer Bezugsradius
rr = innerer Bezugsradius zur Berechnung von Fr

Werte
M = 5,97 *10^24kg
m = 1kg
r = 6371000m
G = 6,673 * 10^-11 m³ * kg^-1 * s^-2

Um nun in einfacher weise zu zeigen wie man F, Fr und Fw berechnet. Werde ich alle 3 Varianten zeigen. Es ist wichtig den richtigen Bezug zu nehmen. Also was man haben möchte. Der interessante Teil, ist in den letzten 3 Beispielrechnung. Vorher zeige ich nur Das die Formel auf der Oberfläche und auf großer Entfernung die gleichen Werte wie die bekannte Formel ausgibt.

F an der Oberfläche.
F = (G*m*M)/r²
F = ( 6,673*10^-11 * 1 * 5,97*10^24 ) / 6371000² = 9,81

Fr an der Oberfläche ( rr, r, rw und ra sind alle gleich dem Erdradius. )

Fr = (G * m * M *(rw+r)*rr) / 2*r²*ra²
Fr = ( 6,673*10^-11 * 1 * 5,97*10^24 * (6371000+6371000) * 6371000) / (2*6371000²*6371000²) = 9.81

Fw an der Oberfläche ( rr, r, rw und ra sind alle gleich dem Erdradius. )
Fw = (G * m * M *(rw+r)*rr) / 2*r²*ra²
Fw= ( 6,673*10^-11 * 1 * 5,97*10^24 * (6371000+6371000) * 6371000) / (2*6371000²*6371000²) = 9.81

F in 10000 km Entfernung
F = (G*m*M)/r²
F = ( 6,673*10^-11 * 1 * 5,97*10^24 ) / 7371000² = 7,33

Fr in 10000 km Entfernung ( rr, r, rw entsprechen dem Erdradius, ra ist 7371000 m)
Fr o. Fw = (G * m * M *(rw+r)*rr) / 2*r²*ra²
Fr = ( 6,673*10^-11 * 1 * 5,97*10^24 * (6371000+6371000) * 6371000) / (2* 6371000²*7371000²) = 7,33

Fw in 10000 km Entfernung ( rr, r, rw entsprechen dem Erdradius, ra ist 7371000 m)
Fw = (G * m * M *(rw+r)*rr) / 2*r²*ra²
Fw = ( 6,673*10^-11 * 1 * 5,97*10^24 * (6371000+6371000) * 6371000) / (2* 6371000²*7371000²) =7,33

F 100m vom Erdkern entfernt.
F = (G*m*M)/r²
F = (6,673*10^-11 *1 * 5,97*10^24) / 100² = 3.98 * 10^10

Fr 100m vom Erdkern entfernt ( rw,r,ra entsprechen dem Erdradius, rr ist 100 m)
Fr o. Fw = (G * m * M *(rw+r)*rr) / 2*r²*ra²
Fr = ( 6,673*10^-11 * 1 * 5,97*10^24 * (637100+6371000) * 100) / (2* 6371000²*6371000²) =
= 1,54 * 10^-4

Fw 100 meter vom Erdkern entfernt (r,ra,rr entsprechen dem Erdradius, rw ist 100 m)
Fw = (G * m * M *(rw+r)*rr) / 2*r²*ra²
Fw = ( 6,673*10^-11 * 1 * 5,97*10^24 * (100+6371000) *6 371000) / (2* 6371000²*6371000²) =
= 4,91

Es ist ein sehr einfacher Mathematischer kniff um das zu bekommen was ich erwarte.

Zur Vorstellung. Wenn man die Erde halbiert und am Erdkern steht. Wirkt dort 4,9 m/s². Wenn man nun den anderen Erdteil wieder hinzu fügt, wirkt auch von der anderen Seite 4,9 m/s². Somit Resultiert keine Kraft. Es wirkt aber Trotzdem die Kraft beider Erdhälften.

Noch ein Beispiel. Wir haben 9,81 m/s² auf der Erdoberfläche. Wenn nun einer 2te Erde 2m über uns sein würde (sie stürzt in der Theorie nicht auf unsere Erde) dann hätten wir von 2 Seiten eine wirkende Kraft von 9,81m/s². Wir würden dann schweben weil sich beide Kräfte vom Betrag her aufheben. Es sind aber beide Kräfte vorhanden.

Die Formel war ursprünglich in der Lage auch die Kraft von der anderen Seite zu berechnen, das macht die ganze Sache aber noch länger um alles zu erklären. Man behelfe sich mit 9,81 – den errechneten Wert.

Ich hatte mal den versuch unternommen das ganze Vektoriell aufzustellen, um die Kraft zudem auch aus jeder Beliebigen Richtung errechenbar zu machen. Allerdings übersteigt das mein können.

Mfg Cyrus