Wie schwer bin ich im Einsteinzug?

[Bernhard]

Zitat von Mike

Man stelle sich einen Zug vor, der mit 0,866 facher Lichtgeschwindigkeit über eine (an dieser Stelle) abgeflachte Erde rast. Abgeflacht deswegen, damit die Erdkrümmung zu keiner Zentrifugalkraft führt.
Mit wieviel g würde ein mitfahrender Beobachter aus seiner Sicht an den Boden des Zuges gedrückt werden (aufgrund der Anziehungskraft der Erde)?

Hallo Mike,

zur Beantwortung dieser Frage müssen vorab einige grundlegende Begriffe zur Erklärung vereinbart werden:

a) Es soll relativistisch und mit Gravitation gerechnet werden. Dh es wird für konkrete Berechnungen die https://de.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild-Metrik benötigt.

b) Die Bedeutung der Koordinaten der Schwarzschild-Metrik muss verstanden sein, um auch die Physik der Rechenergebnisse zu verstehen.

Soweit OK?

[Bernhard]

Zitat von Bernhard

Soweit OK?

Falls ja, hat man als nächstes eigentlich immer zwei wichtige Beobachter. Zum einen den Experimentator (Beobachter A) im Zug mit seiner lokalen Uhr und dann noch einen ruhenden Beobchter B, der sich in großer Entfernung von der gravitativen Masse befindet. B verwendet die Schwarzschildkoordinaten. Die Koordinate t stimmt genau mit der Uhr des Beobachter B überein.

Beide Beobachter verwenden für Positionen gerne die Koordinaten r, theta und phi.

Die Zeitkoordinaten werden unterschiedlich verwendet. A hat die Eigenzeit tau. B hat die Zeit t. Der Unterschied zwischen beiden Zeiten wird Zeitdilatation genannt.

Generell kann dann die Physik für beide Beobachter berechnet werden.

OK?

[Ich]

Ich würde unbedingt die Näherung für schwache Felder verwenden. Und ich würde unbedingt kartesische Koordinaten verwenden, weil das die Mathematik m.E. sehr viel einfacher macht. Dann ist es nur noch ein Christoffelsymbol und die Vierergeschwindigkeit. Im Anhang die Koordinaten, die Einstein für die Lichtablenkung verwendet hat.

[Bernhard]

Zitat von Ich

Ich würde unbedingt die Näherung für schwache Felder verwenden. Und ich würde unbedingt kartesische Koordinaten verwenden, weil das die Mathematik m.E. sehr viel einfacher macht. Dann ist es nur noch ein Christoffelsymbol und die Vierergeschwindigkeit. Im Anhang die Koordinaten, die Einstein für die Lichtablenkung verwendet hat.

Man kann das auch relativ leicht in Polarkoordinaten durchrechnen, weil man eh nur die Tangente an die Geodäte betrachtet.

Ich komme da auf d^2r/dtau^2 = f^r/m etwa gleich 4g, aufgrund eines gamma^2, bei Vernachlässigung einiger "kleinerer" Terme.

EDIT: Interessant. Die unterschiedlichen Ergebnisse kommen wohl daher, dass man den Zug einmal auf konstantem r (mit etwa 4g) oder auf "komplett" gerader Bahn (dann noch mehr g) halten will.

[Ich]

Zitat von Bernhard

Ich komme da auf d^2r/dtau^2 = f^r/m etwa gleich 4g, aufgrund eines gamma^2, bei Vernachlässigung einiger "kleinerer" Terme.

Die Formeln verstehe ich nicht. Wieso d^2r/dtau^2, und was bedeutet f^r/m?

Die Frage war nach der Eigenbeschleunigung einer geraden Bahn. Das müssten in den kartesischen Koordinaten Geraden in der x2-t-Ebene sein, so dass der Term mit der expliziten (Koordinaten-)Ableitung der Vierergeschwindigkeit wegfällt. Dann bleit nur noch a^\mu=\Gamma^\mu_\nu_\lambda u^\nu u^\lambda.

[Ich]

Zitat von Bernhard

EDIT: Interessant. Die unterschiedlichen Ergebnisse kommen wohl daher, dass man den Zug einmal auf konstantem r (mit etwa 4g) oder auf "komplett" gerader Bahn (dann noch mehr g) halten will.

Das habe ich auch noch nicht verstanden, konstantes r bedeutet doch sehr viel höhere Beschleunigung, oder?

[Bernhard]

Zitat von Ich

Das habe ich auch noch nicht verstanden, konstantes r bedeutet doch sehr viel höhere Beschleunigung, oder?

EDIT: Hast recht. Die Waage muss aufgrund der sehr hohen Geschwindigkeit ja mit einer äußeren Zwangskraft nach unten gezogen werden, um auf einer radialen Bahn zu bleiben. Ohne äußere Kräfte würde die Waage im Zug entlang einer radialen Bahn nach oben fliegen.

Ich hatte oben die zugehörige Zentrifugalkraft vernachlässigt und deshalb nur den Dilatationsfaktor berücksichtigt.

Man kann jetzt klären, wie die erzwungene Flugbahn denn nun genau aussehen soll. Erst dann kann man die erforderlichen Zwangskräfte ausrechnen.

Die radiale Bahn hatte ich für sinnvoll gehalten, weil die ja auch genauso in der Praxis gebaut werden.

[Bernhard]

Ich stelle mal mein Ergebnis zur Diskussion:

Für die Zwangskraft, welche einen Massekörper auf einer radialen Bahn hält, erhalte ich für große r, bzw. kleine Werte für rS/r:

f^r = m * (rS/(2r²) - ß²/r) / (1-ß²)

ß = v/c = 0,866

Wenn der Zug die Kreisbahngeschwindigkeit erreicht, gilt f^r = 0. Da heben sich dann Gravitationskraft und Zentrifugalkraft gerade gegenseitig auf.

Um eine "gerade" Zielbahn zu erhalten, muss man rechnerisch zusätzlich etwas tricksen, damit man als Zielbahn nicht gleich eine lichtartige Geodäte annehmen muss.

[Mike]

Hallo Bernhard,

also ich hatte mir das ursprünglich so vorgestellt, dass die Erdkrümmung so weit abgeflacht wird, dass die Gleisbahn des Zuges im kartesischen Koordinatensystem einer Geraden folgt. Diese kann im Gedankenexperiment ja beliebig klein gehalten werden. Z.B. nur 260 m lang, dann würde der Zug aus Sicht des ruhenden Beobachters B nur eine millionstel Sekunde lang auf ihr entlangfahren. Mir geht es dabei darum die Zentrifugalkraft auf Grund der Erdkrümmung wegzubekommen. Inwieweit Raumkrümmungseffekte der Erdmasse eine Rollen spielen könnten, weiß ich allerdings nicht. Ich dachte bislang diese wären sehr klein, so dass sie vernachlässigt werden können.
Die Geodäte einer Lichtbahn würde aus kartesischen Koordinatensicht ja auch einen Bogen beschreiben. Und wohl einen noch gekrümmteren als ein etwas langsameres Teilchen, oder liege ich hier falsch?

[Bernhard]

Zitat von Mike

also ich hatte mir das ursprünglich so vorgestellt, dass die Erdkrümmung so weit abgeflacht wird, dass die Gleisbahn des Zuges im kartesischen Koordinatensystem einer Geraden folgt.

Ok. Da müsste man also, wie gesagt, noch etwas weiter "tricksen".

Einige gravitative Effekte kann man vernachlässigen.