Extremwertproblem

[EMI]

Zitat von zeitgenosse

Hans besitzt einen Hausteil mit Schrägdach (im Aufriss ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 3 und 4 Meter). Unter das Dach möchte er eine Kammer mit rechteckigem Querschnitt einbauen.
Wie gross muss das vom Dreieck umschriebene Rechteck f(a, b) sein, damit seine Fläche maximal wird?

b=-(4/3)a+4

Der Flaecheninhalt ist hier A=a*(-(4/3)a+4)

A'=dA/da=(a*(-4/3a+4))=-(4/3)a²+4a

0=-(8/3)a+4

a=1,5m

b=-(4/3)*1,5+4=2m

1,5m * 2m = 3m²

EMI

PS: ist das jetzt hier unsere Matheecke?

[zeitgenosse]

Zitat von EMI

1,5m * 2m = 3m²

JAAAAAAA!

Die Seiten des eingeschriebenen Rechtecks sind halb so gross wie die Katheten des Dreiecks.

Gr. zg

[Sino]

Rein aus Symmetriebetrachtungen bei (3m/2*4m/2)=1.5*2=3m².

Hab aber nur gemalt.

Wenn man das Raumrechteck / die Verlust-Dreiecke einzeichnet und alles an der Hypthenuse des ursprünglichen Dreiecks spiegelt, erhält man 4 Rechtecke in einem Rechteck. Die 2 Rechtecke, die von der Hypthenuse geschnitten werden, sind Raumverschwendung.
Wenn man nun den Punkt auf der Hypothenuse, der die Ecke des Raumes kennzeichnet, verschiebt, werden die Verlustflächen genau dann minimal, wenn die anderen 2 Rechtecke exakt gleich sind, was bei der Seitenlänge a/2 und b/2 der Fall ist.

Ok, das war nun aber keine strikte Mathematik.

Aber als mathematischer Beweis würde es reichen, wenn man zeigt, dass es genau ein Maximum geben kann, z.b. durch die Linearität der Gleichungen.
Dann kommt aufgrund der spiegelsymmetrischen Vorgänge unterhalb und oberhalb der Hypothenuse nur a/2 und b/2 in Frage. Da jede Lösung eine zweite andere Lösung als Spiegelbild hätte, nur bei a/2 und b/2 sind beide Lösungen identisch.

[zeitgenosse]

Das war erst zum Aufwärmen!

Anlässlich eines Firmenwettbewerbes steht folgende Aufgabe an:

Gegeben ist ein 5 m hohes (vertikal montiertes) Rohr, das bis zum Rand mit Wasser gefüllt wird. Unten am Boden ist das Rohr mit einer Endmuffe verschlossen. Es soll nun ein Loch in das Rohr gebohrt werden, damit der dadurch entstehende Wasserstrahl den Boden an möglichst weit entfernter Stelle trifft.

Es werden folgende Vereinfachungen in Kauf genommen:

Der Verlauf des Wasserstrahls wird als waagerechter Wurf im luftleeren Raum betrachtet.

In welcher Höhe würdest du das Loch bohren?

Gr. zg

[EMI]

Zitat von zeitgenosse

In welcher Höhe würdest du das Loch bohren?

Die Weite w berechnet sich mit der Rohrhöhe h und der Bohrhöhe a wie folgt:

w = 2 sqrt(a*h - a²)
w² = -4a² + 20a
wmax bei a=2,5m
wmax=5m bei vmax=7m/s

EMI

[zeitgenosse]

Zitat von EMI

wmax bei a=2,5m

Völlig korrekt, die gesuchte Bohrhöhe befindet sich in der Mitte der Wassersäule.

Gr. zg

[zeitgenosse]

Die Katze kann das Mausen nicht lassen!

Nur noch eine winzigkleine Aufgabe (danach höre ich auf):

Gegeben ist eine Zündholzschachtel mit Länge a = 5 cm. Das Volumen (a*b*c) beträgt 45 cm^3. Der Materialverbrauch soll minimiert werden. Wie gross müssen die dazu erforderlichen Kanten (a, b, c) sein?

Gr. zg

[EMI]

Zitat von zeitgenosse

Wie gross müssen die dazu erforderlichen Kanten (a, b, c) sein?

a=5cm
b=3cm
c=3cm

Gruß EMI

[Hamilton]

Ok, jetzt mal eine von mir, die mal zur Abwechslung mit Physik zu tun hat:
Die ist evtl. auch ein bisschen schwieriger, aber mal sehen:

Zeige, dass die Gleichverteilung (für ein diskretes System) maximale Entropie hat.

Entropie = S = Σ -p_i ln(p_i)

Viel Spaß

[Sino]

Zitat von zeitgenosse

Gegeben ist eine Zündholzschachtel mit Länge a = 5 cm. Das Volumen (a*b*c) beträgt 45 cm^3. Der Materialverbrauch soll minimiert werden. Wie gross müssen die dazu erforderlichen Kanten (a, b, c) sein?

Das ist ein typische: "Das sieht man doch." Aufgabe, bei der man sich nur überlegen muss, wie man es hinschreibt, dass es ein Mathelehrer akzeptiert.

1) 2 Endflächen: A_Enden = 2*b*c = 2*V/a = 18 cm² = const
2) 4 Seitenflachen: A_Seiten = 2*a*b+2*a*c = 2a(b+c)
3) A = A_Seiten + A_enden = A_Seiten + const

Aus 1) => c=9cm²/b

Einsetzen in 3) ergibt:

A(b)=10cm*(b+9cm²/b)=10cm*b+90cm³/b + const
A'(b)=10cm+90cm³*(-1)/b²=10cm-90cm³/b²
A'(b)=0 => 10cm=90cm³/b² <=> 10cm*b²=90cm³ <=> b²=9cm² => b=3cm
A''(b)=180cm³/b³ => A''(3cm)>0 => Minimum von A bei b=3cm. Aus c=9cm²/b folgt c=3cm.

So eine "Das sieht man doch sofort !"-Aufgabe muss man doch irgendwie schneller machen können.

edit: Über einen Integralsatz sollte das schneller gehen. Die Länge der Randkurve 2*(b+c) steht in Verbindung zur Oberfläche und zum Volumen. Damit sollte man das Ganze in 1 oder 2 Zeilen rechnen können.